Équation d'Hugoniot

L'équation d'Hugoniot, utilisée en mécanique des fluides, décrit le comportement d'un écoulement isentropique stationnaire dans un volume fermé de section lentement variable. Cette dénomination en l'honneur de Pierre-Henri Hugoniot n'est pas universellement utiliséeModèle:,.

Écoulement quasi-unidimensionnel

Dans une conduite ou une tuyère la variation lente de l'aire de la section droite permet d'assimiler l'écoulement à un écoulement en une dimension moyennant l'hypothèse :

$V_y,V_z<<V_x$

Soit $A(x)$ l'aire et $f(x,y,z)$ la quantité caractéristique à laquelle on s'intéresse. On écrit cette quantité sous forme d'une partie principale moyenne et d'un écart local à cette valeur :

$f=\overline{f}(x)+\tilde{f}(x,y,z)$

$\tilde{f}$ étant supposé en $𝒪(ϵ)$ on peut écrire :

$\overline{fg}\simeq \overline{f}\overline{g}$

et

$\overline{\frac{\partial f}{\partial x}}\simeq \frac{\partial \overline{f}}{\partial x}$

Ces relations vont nous permettre de moyenner les termes de l'équation d'Euler, non linéaire.

Équations d'Euler instationnaires

Dans le domaine $𝒟$ contenant le fluide, limité par la surface $\partial 𝒟$, de normale sortante $𝐧$ on peut écrire les bilans de conservation pour les équations d'Euler sous la forme suivante :

• on suppose nulle la masse entrante sur les parois :

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_{x_1}^{x_2}{\int }_A\rho dadx=-{\int }_{\partial 𝒟}\rho 𝐕\cdot 𝐧da\simeq -{\left[{\int }_{A(x)}\rho V_{x}da\right]}_{x_1}^{x_2}$

À l'ordre 0 en $ϵ$ et en utilisant l'expression donnant la moyenne d'un produit :

${\int }_{x_1}^{x_2}A\frac{\partial \overline{\rho }}{\partial t}dx=-{\left[A\overline{\rho }\overline{V}\right]}_{x_1}^{x_2}$

Soit en dérivant :

$A\frac{\partial \overline{\rho }}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x}(A\overline{\rho }\overline{V})=0$

• en effectuant les mêmes opérations sur la quantité de mouvement et en utilisant l'équation de continuité on obtient :

$\overline{\rho }(\frac{\partial \overline{V}}{\partial t}+\overline{V}\frac{\partial \overline{V}}{\partial x})=-\frac{\partial \overline{p}}{\partial x}$

• de même pour l'équation de l'énergie en utilisant les équations de continuité et de quantité de mouvement :

$\overline{\rho }(\frac{\partial \overline{e}}{\partial t}+\overline{V}\frac{\partial \overline{e}}{\partial x})=-\frac{\overline{p}}{A}\frac{\partial }{\partial x}(A\overline{V})$

Équations stationnaires

Elles découlent trivialement des précédentes :

• bilan de masse :

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(A\overline{\rho }\overline{V})=0$

• bilan de quantité de mouvement :

$\overline{\rho }\overline{V}\frac{\mathrm{d}\overline{V}}{\mathrm{d}x}=-\frac{\mathrm{d}\overline{p}}{\mathrm{d}x}$

• bilan d'énergie :

$\overline{\rho }\overline{V}\frac{\mathrm{d}\overline{e}}{\mathrm{d}x}=-\frac{\overline{p}}{A}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(A\overline{V})$

Équation d'Hugoniot

La vitesse du son $\overline{c}$ à l'ordre 0 en $ϵ$ dans le milieu est donnée par:

${\overline{c}}^2={\frac{\partial \overline{p}}{\partial \overline{\rho }}|}_S$

$S$ (et non $\overline{S}$) est l'entropie. L'utilisation de cette relation suppose donc une restriction de ce qui suit à un écoulement isentropique, sans onde de choc. Dans notre cas :

$\mathrm{d}\overline{p}={\overline{c}}^2\mathrm{d}\overline{\rho }$

L'équation stationnaire de quantité de mouvement s'écrit alors :

$\frac{\mathrm{d}\overline{\rho }}{\overline{\rho }}=-{\overline{M}}^2\frac{\mathrm{d}\overline{V}}{\overline{V}}$

où $\overline{M}=\frac{\overline{V}}{\overline{c}}$ est le nombre de Mach à l'ordre 0.

L'équation de continuité stationnaire peut s'écrire sous la forme :

$\frac{\mathrm{d}A}{A}+\frac{\mathrm{d}\overline{\rho }}{\overline{\rho }}+\frac{\mathrm{d}\overline{V}}{\overline{V}}=0$

En l'introduisant dans l'équation précédente on obtient l'équation d'Hugoniot :

$\frac{\mathrm{d}A}{A}=({\overline{M}}^2-1)\frac{\mathrm{d}\overline{V}}{\overline{V}}$

Cette équation montre que :

• en subsonique une diminution de l'aire entraîne une augmentation de la vitesse,
• en supersonique c'est le contraire.

Cette observation est à la base de la tuyère de Laval.

Liens externes

• Ecoulement monodimensionnels des fluides compressibles

Articles connexes

• Équations de Navier-Stokes
• Relations de Rankine-Hugoniot