Équation de Ramanujan-Nagell

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En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, l'équation de Ramanujan-Nagell est une équation liant un carré parfait comme étant une puissance de deux moins sept. C'est un exemple d'équation diophantienne exponentielle, une équation à résoudre en entiers où l'une des variables apparaît comme un exposant. Celle-ci est nommée d'après Srinivasa Ramanujan, qui a conjecturé qu'il n'a que cinq solutions entières, et d'après Trygve Nagell, qui a prouvé la conjecture.

Équation et solution

L'équation est

2n−7=x2

et les seules solutions en entiers naturels n et x sont n = 3, 4, 5, 7 et 15.

Cette solution a été conjecturée en 1913 par le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan[1], proposée indépendamment en 1943 par le mathématicien norvégien Wilhelm Ljunggren[2], et prouvée en 1948 par le mathématicien norvégien Trygve Nagell[3]Modèle:,[4]. Les valeurs de x correspondant aux valeurs de n ci-dessus sont respectivement :

x = 1, 3, 5, 11 et 181[5].

Nombres triangulaires de Mersenne

Le problème de trouver tous les entiers de la forme 2b − 1 (nombre de Mersenne) qui sont des nombres triangulaires est équivalent à l'équation de Ramanujan-Nagell :

2b−1=y(y+1)2⟺ 2b+3−8=4y2+4y⟺ 2b+3−7=(2y+1)2.

Les valeurs de b dans cette équation sont juste celles de n − 3 dans l'équation de Ramanujan-Nagell, et les nombres de Mersenne triangulaires correspondants (également appelés nombres de Ramanujan-Nagell) sont :

y(y+1)2=(x−1)(x+1)8

pour x = 1, 3, 5, 11 et 181, donnant 0, 1, 3, 15 et 4095 (Modèle:OEIS).

Équations de type Ramanujan-Nagell

Une équation de la forme

x2+D=ABn

pour D, A , B fixés et d'inconnues x, n est dit de type Ramanujan-Nagell. Un résultat de Carl Siegel implique que le nombre de solutions dans chaque cas est fini[6]. L'équation avec A = 1, B = 2 a au plus deux solutions, sauf si D = 7. Il y a une infinité de valeurs de D pour lesquelles il n'existe que deux solutions[5].

Équations de type Lebesgue-Nagell

Une équation de la forme

x2+D=Ayn

pour D, A fixés et d'inconnues x, y, n est dite de type Lebesgue-Nagell. Ces équations sont nommées d'après Victor-Amédée Lebesgue, qui a prouvé que l'équation

x2+1=yn

n'a pas de solutions non trivales lorsque n est un nombre premier[7]Modèle:,[8].

Les résultats de Shorey et Tijdeman[9] impliquent que le nombre de solutions dans chaque cas est fini[10]. Bugeaud, Mignotte et Siksek ont résolu les équations de ce type avec A = 1 et 1 ≤ D ≤ 100[11]. En particulier, la généralisation suivante de l'équation de Ramanujan-Nagell

yn−7=x2

a des solutions entières seulement si x = 1, 3, 5, 11 ou 181.

Références

Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

Modèle:Portail

  1. ↑ Modèle:Article.
  2. ↑ Modèle:Article.
  3. ↑ Modèle:Article.
  4. ↑ Modèle:Article.
  5. ↑ 5,0 et 5,1 Modèle:Ouvrage : Modèle:P..
  6. ↑ Modèle:Harvsp.
  7. ↑ Modèle:Article.
  8. ↑ Modèle:Ouvrage.
  9. ↑ Modèle:Ouvrage.
  10. ↑ Modèle:Harvsp.
  11. ↑ Modèle:Article.
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