Équation polaire

Le plan est muni d'un repère orthonormal $(\mathrm{O},\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. Si $f$ est une fonction numérique, on peut considérer l'ensemble des points M dont un système de coordonnées polaires $(\rho ,\theta )$ vérifient l'équation :

$\rho =f(\theta )$.

On dit que la courbe plane en question a pour équation polaire :

$\rho =f(\theta )$.

Si $\rho =0$, on placera alors le point M à l'origine du repère bien qu'en toute théorie, on ne puisse plus définir l'angle $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM})$.

Si une courbe possède une équation polaire et si l'intervalle $[{\theta }_1,{\theta }_2]$ est inclus dans le domaine de définition, la restriction de la courbe à cet intervalle peut être parcourue en tournant dans le sens trigonométrique de l'angle ${\theta }_1$ à l'angle ${\theta }_2$.

Base mobile

On introduit pour chaque valeur de θ une base orthonormale directe $(\overrightarrow{u}(\theta ),\overrightarrow{v}(\theta ))$, obtenue par rotation de θ à partir de la base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. Ainsi

$\overrightarrow{u}(\theta )=\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right)\overrightarrow{v}(\theta )=\left(\begin{array}{c}-\sin \theta \\ \cos \theta \end{array}\right)=\overrightarrow{u}(\theta +\frac{\pi }{2})$.

On s'efforcera d'exprimer toutes les notions géométriques à l'aide de cette base. Cependant comme ces deux vecteurs dépendent de θ, il ne faut pas oublier de les dériver eux aussi.

$\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{u}}{\mathrm{d}\theta }=\overrightarrow{v}\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}\theta }=-\overrightarrow{u}$.

Remarque : dériver ces vecteurs revient à leur faire subir une rotation de π/2.

Vecteur position

Par définition même des coordonnées polaires, $\overrightarrow{u}$ est un vecteur unitaire colinéaire et de même sens que $\overrightarrow{OM}$ et ainsi

$\overrightarrow{OM}=f(\theta )\overrightarrow{u}$.

Couplée avec les formules de dérivation des vecteurs u et v ci-dessus, cette formule permet de calculer tous les objets de géométrie différentielle usuels.

Tangente à la courbe

Si la fonction $f$ est dérivable alors

$\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}\theta }=f^{\prime }(\theta )\overrightarrow{u}(\theta )+f(\theta )\overrightarrow{v}(\theta )$.

Si ce vecteur est non nul, il est un vecteur directeur de la tangente (T) à la courbe au point associé à $\theta$. Alors pour tout point M distinct de l'origine, l'angle $V$ entre le vecteur $\overrightarrow{OM}$ et le vecteur tangent $\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}\theta }$ vérifie donc :

$\tan V=\frac{f(\theta )}{f^{\prime }(\theta )}$ si $f^{\prime }(\theta )\ne 0$,

$V=\pm \frac{\pi }{2}$ si $f^{\prime }(\theta )=0$.

Abscisse curviligne

Si l'origine est prise en ${\theta }_0$ alors l'abscisse curviligne, c’est-à-dire la longueur algébrique de la courbe entre le point $M({\theta }_0)$ et $M({\theta }_1)$, est :

$\underset{{\theta }_0}{\overset{{\theta }_1}{\int }}\sqrt{f{\text{'}}^2(\theta )+f^2(\theta )}\mathrm{d}\theta$.

Rayon de courbure

Le rayon de courbure est le rayon du cercle tangent à (T) et qui approche « au mieux » la courbe.

Si la fonction $f$ est deux fois dérivable, et si $2f{\text{'}}^2(\theta )+f^2(\theta )-f(\theta )f^{″}(\theta )$ est non nul, le rayon de courbure est :

$\frac{(f{\text{'}}^2(\theta )+f^2(\theta ){)}^{3/2}}{2f{\text{'}}^2(\theta )+f^2(\theta )-f(\theta )f^{″}(\theta )}$.

Point d'inflexion

Si la fonction $f$ est deux fois dérivable, les points d'inflexion se trouvent parmi les points qui annulent la quantité $2f{\text{'}}^2(\theta )+f^2(\theta )-f(\theta )f^{″}(\theta )$. L'annulation de cette grandeur exprime en effet que les deux premières dérivées vectorielles du rayon-vecteur sont colinéaires.

Branches infinies

Pour étudier une branche infinie quand $\theta \to {\theta }_0$, on utilise les coordonnées cartésiennes dans la base $(\overrightarrow{u}({\theta }_0),\overrightarrow{v}({\theta }_0))$.

Équations polaires paramétriques

Si la courbe est donnée par une équation polaire paramétrique r(t), θ(t), les vecteurs vitesse et accélération peuvent être calculés dans la base mobile ; on note par un point la dérivation par rapport au paramètre t :

$\overrightarrow{V}=\dot{r}\overrightarrow{u}+r\dot{\theta }\overrightarrow{v}$ ;

$\overrightarrow{A}=(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)\overrightarrow{u}+(r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta })\overrightarrow{v}$.

Voir aussi

Rosace, Spirale, Limaçon, Lemniscate…