Table d'intégrales

En analyse, l'intégrale définie sur l'intervalle Modèle:Math, d'une fonction intégrable Modèle:Math s'exprime à l'aide d'une primitive Modèle:Math de Modèle:Math :

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x={[F(x)]}_a^b:=F(b)-F(a).$

Les primitives de la plupart des fonctions qui sont intégrables ne peuvent être exprimées sous une « forme close » (voir le théorème de Liouville). Toutefois une valeur de certaines intégrales définies de ces fonctions peut parfois être calculée. Quelques valeurs d'intégrales particulières de certaines fonctions sont données ici.

Liste

• $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s-1}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^{\alpha }}{\beta }}\mathrm{d}x=\frac{{\beta }^{s/\alpha }}{\alpha }\mathrm{\Gamma }(s/\alpha )$ pour Modèle:Math et Modèle:Math, où Modèle:Math est la fonction gamma d'Euler, dont on connait quelques valeurs particulières, comme :
  • Modèle:Math pour Modèle:Math
  • Modèle:Math (intégrale de Gauss)
  • Modèle:Math

• $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{s-1}}{{\mathrm{e}}^x-1}\mathrm{d}x=\mathrm{\Gamma }(s)\zeta (s)$ pour Modèle:Math, où Modèle:Math est la fonction zêta de Riemann, dont on connaît aussi quelques valeurs particulières, comme :
  • Modèle:Math
  • Modèle:Math
• $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}$ (intégrale de Dirichlet)

• $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{1-x^3}}\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\mathrm{B}(\frac{1}{3},\frac{1}{2})$ (intégrale elliptique ; Modèle:Math est la fonction bêta d'Euler)

• $\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\ln (\cos x)\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\ln (\sin x)\mathrm{d}x=-\frac{\pi }{2}\ln (2)$ (intégrales d'Euler)

• $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\cos (x^2)\mathrm{d}x=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\sin (x^2)\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ (intégrales de Fresnel)

• $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\ln (1-2\alpha \cos x+{\alpha }^2)\mathrm{d}x=\{\begin{array}{cc}2\pi \ln |\alpha |& \text{si }|\alpha |>1\\ 0& \text{si }|\alpha |\le 1\end{array}$ (intégrale de Poisson).

• $\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\sin }^{n}x\mathrm{d}x=W_n$ (intégrales de Wallis)

• $\{\begin{array}{ccc}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{-x}\mathrm{d}x& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-n}& \approx 1,29\\ \underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^x\mathrm{d}x& =-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-n{)}^{-n}& \approx 0,78\end{array}$ (Rêve du deuxième année, attribué à Jean Bernoulli).

• $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln (1+x)}{1+x^2}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{8}\ln (2)$ (intégrale de Serret)
• $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{-x}-{\mathrm{e}}^{-tx}}{x}\mathrm{d}x=\ln t$ (intégrale de Frullani)

• $\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\ln (\ln (\tan (x)))\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}\ln \left[\sqrt{2\pi }\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)}\right]=\frac{\pi }{4}\ln \left[\frac{4{\pi }^3}{\mathrm{\Gamma }{\left(\frac{1}{4}\right)}^4}\right]$ (intégrale de Vardi)

Voir aussi

Articles connexes

• Intégrale indéfinie
• Intégrale définie

Bibliographie

• Modèle:En Alan Jeffrey et Daniel Zwillinger, Table of Integrals, Series, and Products, Academic Press, 2007 Modèle:Isbn
• Modèle:Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz et Stegun)

Liens externes

• Modèle:En Calculateur automatique de primitive, sur WolframAlpha
• Modèle:En Online Encyclopedia Of Equation