Tore d'application

Modèle:Voir homonymeModèle:Ébauche En mathématiques et plus particulièrement en topologie, le tore d'application, dit aussi mapping torus ou encore tore de suspension, d'un homéomorphisme $f$ d'un espace topologique $X$ est l'espace produit $X\times [0,1]$ quotienté par la relation d'équivalence $(x,1)\sim (f(x),0)$.

Propriétés

• Le tore d'un homéomorphisme de X est l'espace total d'un fibré sur [[cercle|SModèle:1]], de fibre X.
• Les tores de deux homéomorphismes f et g de X sont homéomorphes (et même isomorphes, en tant que fibrés) dès que f et g sont conjugués ou isotopes (dans le groupe topologique des homéomorphismes de X, muni de la topologie compacte-ouverte), ou plus synthétiquement : dès qu'il existe un chemin continu (hModèle:Ind)Modèle:Ind d'homéomorphismes de X tel que hModèle:Ind∘f = g∘hModèle:Ind.
• Le tore d'un homéomorphisme Modèle:Math de X est l'espace des orbites de l'action de ℤ sur X×ℝ donnée par Modèle:Math.

Exemples

• Le tore de l'application identité de $X$ est le fibré trivial.
• Si $X=S^1$, le tore de $f$ est le tore TModèle:2 ou la bouteille de Klein, selon que $f$ conserve ou renverse l'orientation.
• Le ruban de Möbius est le tore de l'homéomorphisme $[-1,1]\to [-1,1],x\mapsto -x$.

Références

• Modèle:Article
• François Gautero, Quatre problèmes géométriques, dynamiques ou algébriques autour de la suspension, Habilitation à diriger des recherches, 2006

Articles connexes

• Conjecture de géométrisation
• Mapping class group