Tore d'application

Modèle:Voir homonyme Modèle:Ébauche En mathématiques et plus particulièrement en topologie, le tore d'application, dit aussi mapping torus ou encore tore de suspension, d'un homéomorphisme $f$ d'un espace topologique $X$ est l'espace produit $X \times [0, 1]$ quotienté par la relation d'équivalence $(x, 1) \sim (f (x), 0)$ .

Propriétés

Le tore d'un homéomorphisme de X est l'espace total d'un fibré sur [[cercle|SModèle:1]], de fibre X.
Les tores de deux homéomorphismes f et g de X sont homéomorphes (et même isomorphes, en tant que fibrés) dès que f et g sont conjugués ou isotopes (dans le groupe topologique des homéomorphismes de X, muni de la topologie compacte-ouverte), ou plus synthétiquement : dès qu'il existe un chemin continu (hModèle:Ind)Modèle:Ind d'homéomorphismes de X tel que hModèle:Ind∘f = g∘hModèle:Ind.
Le tore d'un homéomorphisme Modèle:Math de X est l'espace des orbites de l'action de ℤ sur X×ℝ donnée par Modèle:Math.

Le tore de l'application identité de $X$ est le fibré trivial.
Si $X = S^{1}$ , le tore de $f$ est le tore TModèle:2 ou la bouteille de Klein, selon que $f$ conserve ou renverse l'orientation.
Le ruban de Möbius est le tore de l'homéomorphisme $[- 1, 1] \to [- 1, 1], x \mapsto - x$ .