Application contractante

Modèle:Homon En mathématiques et plus particulièrement en analyse, une application contractanteModèle:,, ou contraction, est une application qui « rapproche les images » ou, plus précisément, une [[application lipschitzienne|application Modèle:Math-lipschitzienne]] avec Modèle:Math. Le théorème de point fixe le plus simple et le plus utilisé concerne les applications contractantes.

Définition et exemples

Une application f d'un espace métrique (E, d) dans lui-même est dite k-contractante si 0 ≤ k < 1 et si, pour tout couple de points x et y de E, d(f(x), f(y)) ≤ kd(x, y). Elle est dite contractante si elle est k-contractante pour une certaine constante k.

Un endomorphisme d'espace vectoriel normé dont la norme est strictement inférieure à 1 (ou une application affine associée à un tel endomorphisme) est une application contractante. L'exemple le plus simple est celui d'une homothétie de rapport λ avec |λ| < 1.

Plus généralement, l'inégalité des accroissements finis permet de montrer qu'une fonction dérivable de dérivée bornée en norme par k < 1 est contractante ; c'est par exemple le cas sur R de l'application $x\mapsto (x+\sin x)/3$, avec k = 2/3.

Théorème du point fixe pour une application contractante

La preuve classiqueModèle:,Modèle:, consiste essentiellement à montrer que pour toute suite vérifiant $x_{n+1}=f(x_n)$, on a $d(x_n,x_{n+p})\le \frac{k^n}{1-k}d(x_0,x_1)$.

Ce théorème est souvent mentionné comme le théorème du point fixe de Banach — qui l'a énoncé en 1920 dans le cadre de la résolution d'équations intégrales — ou théorème du point fixe de Picard.

Corollaire pour une application dont une itérée est contractante

Le corollaire suivant est utilisé dans certaines preuves du théorème de Cauchy-Lipschitz, ce qui dispense des précautions de la preuve usuelle, destinées à se placer dans une situation où l'application Modèle:Math est contractante. Modèle:Théorème

Remarque

Comme dans le théorème, la convergence de la suite est au moins géométrique (de raison kModèle:Exp si Modèle:Math est k-contractante).

Approximations successives

Ces résultats donnent un algorithme de calcul du point fixe (c'est la « méthode des approximations successives ») contrairement à d'autres théorèmes de point fixe qui nous assurent seulement de l'existence de points fixes sans indiquer comment les déterminer. De plus, l'énoncé donne un majorant de l'erreur. Modèle:Section à sourcer Remarquons que dans le théorème principal, si l'on note Modèle:Math la constante de Lipschitz de Modèle:Math, on a majoré Modèle:Math par Modèle:Math. Modèle:Refnec, ce qui explique que la majoration précédente de Modèle:Math soit souvent pessimiste. En faisant sur Modèle:Math une hypothèse un peu plus forte que celle du corollaire ci-dessus, mais pas autant que celle du théorème, on peut aboutir à de meilleures majorations (par exemple dans le cas de la résolution des équations différentielles) : si, pour tout entier Modèle:Math, l'application Modèle:Math est Modèle:Math-lipschitzienne et si la série de terme général Modèle:Math est convergente — ce qui permet d'appliquer le corollaire puisque kModèle:Ind < 1 pour q assez grand — alors, en notant comme précédemment Modèle:Math le point fixe de Modèle:Math et Modèle:Math (pour un point arbitraire xModèle:Ind de E),

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}d(x_n,x^{*})\le \left(\sum _{i=n}^{\mathrm{\infty }}{k}_i\right)d(x_0,x_1).$

Applications classiques

• Résolution d'équations numériques, voir notamment méthode de Newton
• Résolution approchée de systèmes linéaires par itération
• Résolution d'équations différentielles : théorème de Cauchy-Lipschitz
• Théorème des fonctions implicites
• Application à la définition de l'attracteur d'un système de fonctions itérées

Articles connexes

• Application non expansive
• Théorème du point fixe de Caristi