Fractale de Rauzy

Fractale de Rauzy

La fractale de Rauzy (ou, au masculin, « le fractal de Rauzy ») est une figure fractale associée à la substitution de Tribonacci : $s(1)=12$, $s(2)=13$, $s(3)=1$. Cette étude a été réalisée en 1981 par Gérard Rauzy, dans l'objectif de généraliser les propriétés dynamiques de la substitution de Fibonacci. Cette fractale se généralise à d'autres substitutions à trois lettres, générant d'autres figures aux propriétés intéressantes (pavage périodique du plan, auto-similarité en 3 parties homothétiques...).

Définitions

Le mot infini de tribonacci se construit d'après la substitution dite de Tribonacci : $s(1)=12$, $s(2)=13$, $s(3)=1$. À partir de 1, les mots de Tribonacci successifs sont donc :

• $t_0=1$
• $t_1=12$
• $t_2=1213$
• $t_3=1213121$
• $t_4=1213121121312$

On montre que, pour $n>2$, $t_n=t_{n-1}{t}_{n-2}{t}_{n-3}$, d'où le nom "Tribonacci".

Construction

Considérons, maintenant, l'espace $R^3$ muni d'un référentiel orthonormé. La fractale de Rauzy se construit, alors, comme suit:

1) Interpréter la suite des lettres du mot infini de Tribonacci comme une suite de vecteurs unitaires de l'espace selon la règle: (1 = direction x, 2 = direction y, 3 = direction z).

2) Construire alors un "escalier" en traçant les points atteints par cette séquence de vecteurs. Par exemple, les premiers points sont :

• $1\Rightarrow (1,0,0)$
• $2\Rightarrow (1,1,0)$
• $1\Rightarrow (2,1,0)$
• $3\Rightarrow (2,1,1)$
• $1\Rightarrow (3,1,1)$

etc. Chaque point peut être coloré selon la valeur de la lettre correspondante afin de mettre en lumière l'auto-similarité.

3) Projeter alors ces points sur l'espace contractant (plan orthogonal à la direction générale de propagation de ces points, aucun des points projetés ne s'échappe à l'infini). La fractale de Rauzy est la clôture de cet ensemble.

Propriétés

• Peut être recouverte par trois copies d'elle-même, réduites de facteurs : $k$, $k^2$ et $k^3$ avec $k$ solution de $k^3+k^2+k-1=0$: $k=\frac{1}{3}(-1-\frac{2}{\sqrt[3]{17+3\sqrt{33}}}+\sqrt[3]{17+3\sqrt{33}})=0.54368901269207636$.
• Stable par échange de morceaux. On obtient la même figure changeant les trois copies de place.
• Connexe et simplement connexe. N'a pas de trou.
• Pavage périodique par translation: Peut paver le plan par translation, de manière périodique.
• La matrice de la substitution de Tribonacci a pour polynôme caractéristique $x^3-x^2-x-1$, ses valeurs propres étant un réel $\beta =1,8392$, appelé constante de Tribonacci, un nombre de Pisot, et deux complexes conjugués $\alpha$ et $\overline{\alpha }$ avec $\alpha \overline{\alpha }=1/\beta$ .
• Sa frontière est fractale et la dimension de Hausdorff de cette frontière égale 1,0933 (solution de $2|\alpha {|}^{3s}+|\alpha {|}^{4s}=1$ ).

Variantes et généralisation

Pour toute substitution de type Pisot et unimodulaire, qui vérifie, en plus, une condition particulière dite de coïncidences (toujours vérifiée, semble-t-il), on peut construire un ensemble du même genre appelé fractal de Rauzy de la substitution. Ils sont tous auto-similaires et engendrent, pour les exemples ci-dessous, un pavage périodique de l'espace.

• 
  s(1)=12, s(2)=31, s(3)=1
• 
  s(1)=12, s(2)=23, s(3)=312
• 
  s(1)=123, s(2)=1, s(3)=31
• 
  s(1)=123, s(2)=1, s(3)=1132

Voir aussi

• Liste de fractales
• Suite de Tribonacci

Liens externes

• Fractal de Rauzy, introduction et propriétés, par Anne Siegel
• Propriétés topologiques des fractals de Rauzy
• Géométrie des substitutions, Pierre Arnoux et Anne Siegel, 2004