Les mathématiciens se sont beaucoup intéressés aux propriétés relatives aux nombres cubiques. Certaines de ces propriétés sont mentionnées dans la suite de ce chapitre :
1. Le produit de deux nombres cubiques est un nombre cubique.
4. Pour tout entier naturel non nul, est la somme des entiers impairs les plus proches de . La découverte de cette propriété, illustrée ci-contre par une figure pyramidale extraite des travaux du mathématicien Charles Wheatstone[3], remonterait à d'Adhémar et Cauchy[4].
5. La [[Somme des n premiers cubes|somme des Modèle:Mvar premiers nombres cubiques]] est égale au carré du Modèle:Mvar-ième nombre triangulaire, et donc également au carré de la somme des premiers entiers :
7. Il existe une infinité de nombres cubiques qui sont égaux à la somme de trois autres nombres cubiques. L'exemple le plus célèbre est Modèle:Math (nombre de Platon) . La formule due à Srinivasa Ramanujan prouve cette affirmation et permet de construire des nombres cubiques possédant cette propriété à partir de couples d'entiers naturels , [5]:
8. Tout entier est somme d'au plus 9 nombres cubiques, le plus petit requérant 9 nombres cubiques est (problème de Waring). La liste des plus petits nombres de nombres cubiques requis dans la décomposition des entiers, tous inférieurs ou égaux à 9, est donnée par la Modèle:OEIS. Depuis 2015, on sait qu'à partir de 455, tout entier est somme d'au plus 7 nombres cubiques[6].
Nombre cubique et géométrie
Construction du quatrième nombre cubique .
Modèle:Article détaillé
Un nombre cubique est un nombre figurépolyédrique (donc entier strictement positif) qui peut être représenté géométriquement par un cube[7]. Par exemple, 8 est un nombre cubique puisqu'il peut être représenté par un cube de Modèle:Nobr. Les nombres cubiques sont donc exactement les cubes parfaits strictement positifs, le n-ième étant Modèle:3.
On obtient à partir de la relation :
où sont les nombres de sommets, arêtes et faces du dodécaèdre, son symbole de Schläfli : {nombre d'arêtes par face, nombre d'arêtes (et aussi de faces) par sommet} et le nombre k-gonal d'ordre [8].
On obtient donc .
D'où .
Cubes parfaits dans le monde réel
Cristallographie
Bloc de roche contenant trois cristaux de pyrite (FeS2). La structure cristalline de la pyrite est cubique à faces centrées.
Les cubes parfaits sont présents dans la nature, notamment dans la structure cristalline de certains éléments. La maille constitutive de ces éléments est un cube, qui peut être centré ou même à faces centrées, et la structure de l'élément est constituée par l'association de ces mailles élémentaires, pouvant former des cristaux cubiques contenant un très grand nombre d'atomes. Parmi les éléments ainsi constitués, on peut citer:
Les cubes parfaits pouvant être représentés par des objets physiques, ils sont présents dans une grande variété de réalisations humaines. En particulier, de très nombreux jeux utilisent des dés cubiques, dont les six faces sont généralement numérotées de 1 à 6. Nombreux également sont les jeux destinés à la première enfance utilisant des cubes pouvant s'empiler, s'emboîter[9] ou être accolés pour créer diverses configurations[10], y compris pour créer des cubes de plus en plus grands : 2x2x2 avec 8 cubes unitaires, 3x3x3 avec 27 cubes unitaires, etc. Et le célèbre Rubik's Cube, décliné en de multiples variantes depuis sa création en 1974, se présente, dans sa forme originelle, comme un cube parfait de 3x3x3[11].
↑"cube" employé seul fait en général référence au cube d'un entier pouvant être négatif (par exemple dans l'article somme de trois cubes) ; il faut donc manier l'expression avec précaution.
↑Un Rubik's Cube de 3x3x3 est en fait constitué de 26 et non de 27 petits cubes. L'emplacement du cube central est occupé par le mécanisme permettant au joueur de manipuler les 26 cubes visibles.
