Morphisme plat

En géométrie algébrique, un morphisme de schémas $f:X\to Y$ peut être vu comme une famille de schémas paramétrée par les points de Y. La notion de platitude de f est une sorte de continuité de cette famille.

Définition

Un morphisme $f:X\to Y$ est dit plat en un point x de X si l'homomorphisme d'anneaux

$f_x^{\mathrm{\#}}:{𝒪}_{Y,f(x)}\to {𝒪}_{X,x}$

induit par f est plat. On dit que f est un morphisme plat s'il est plat en tout point de X. On dit que f est fidèlement plat s'il est de plus surjectif.

Si $ℱ$ est un faisceau quasi-cohérent sur X. On dit que $ℱ$ est plat au-dessus de Y si pour tout x dans X, ${ℱ}_x$, muni de la structure de ${𝒪}_{Y,f(x)}$-module induite par $f_x^{\mathrm{\#}}$, est plat.

Exemples

• Si Y est le spectre d'un corps, alors tout morphisme de X vers Y est plat.

• Si Y est le spectre d'un anneau de Dedekind, et si X est intègre, alors f est plat si et seulement si f n'est pas constant.

• L'espace affine ${𝔸}_Y^n$ au-dessus de Y est plat car son faisceau d'algèbres ${𝒪}_Y[T_1,\dots ,T_n]$ est libre sur ${𝒪}_Y$.

• La projection de la deuxième des axes $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(k[x,y]/(xy))$ sur l'un des axes n'est pas un morphisme plat.

Propriétés générales

• Les immersions ouvertes sont des morphismes plats.

• La platitude est stable par produit: si X, Z sont plats sur Y, alors $X{\times }_{Y}Z$ aussi.

• La platitude est stable par composition et changement de base (si $X\to Y$ est plat, alors $X{\times }_Y{Y}^{\prime }\to Y^{\prime }$ aussi pour tout $Y^{\prime }\to Y$).

Propriétés topologiques

• Supposons $f:X\to Y$ plat et localement de présentation finie.
  • L'application f est ouverte (et même universellement ouverte : pour tout $Y^{\prime }\to Y$, $X{\times }_Y{Y}^{\prime }\to Y^{\prime }$ est ouvert).
  • Supposons de plus X, Y noethériens et irréductibles. Alors l'application $y\mapsto \dim X_y$ est constante sur f(X).
• Si f est propre et si $ℱ$ est cohérent sur X, plat sur Y, alors la caractéristique d'Euler-Poincaré ${\chi }_y(ℱ\otimes k(y))=\sum _{i\ge 0}{\dim }_{k(y)}{H}^i(X_y,ℱ\otimes k(y)),y\in Y,$ est localement constante sur f(X). En particulier, si f est plat et si Y est connexe, alors f est surjectif et le Modèle:Lien des fibres est constant.
• Les Modèle:Lien paramètrent des familles plates de sous-schémas fermés d'un espace projectif ${\mathbb{P}}_Y^n$ donné et de polynôme de Hilbert-Samuel donné. Chacune de ces familles induit un morphisme (donc application continue en particulier) de Y vers le schéma de Hilbert. C'est un exemple de continuité à valeurs non-discrèt.

Morphisme fpqc

Un morphisme fidèlement plat et quasi-compact ou morphisme fpqc est un morphisme de schémas, permettant de définir une Modèle:Lien qui est également une Modèle:Lien. Ils apparaissent en Modèle:Lien et dans la construction d'une cohomologie étale, ainsi que dans la théorie générale des champs algébriques. La topologie fpqc est strictement plus fine que la Modèle:Lien qui est strictement plus fine que la topologie étale, qui est strictement plus fine que la topologie de Zariski.

Un morphisme de schémas $f:X\to Y$ est fpqc s'il est fidèlement plat et quasi-compact, c'est-à-dire s'il vérifie les conditions suivantes :

• f est un morphisme fidèlement plat ;
• tout ouvert quasi-compact de Y est l'image d'un ouvert quasi-compact de X.

La propriété d'être fpqc est stable par composition et par changement de base. On peut définir les recouvrements fpqc, qui constituent une pré-topologie de Grothendieck sur la catégorie Aff, opposée de la catégorie CRing des anneaux commutatifs.

Bibliographie

Alexandre Grothendieck et Jean Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique, Publ. Math. IHÉS 1960 - 1967.