Espace strictement convexe

En mathématiques, un espace strictement convexe est un espace normé dont la boule unité est strictement convexe dans le sens précisé ci-dessous. Cette propriété de la norme est moins forte que celle possédée par la norme d'un espace uniformément convexe ou d'un espace réflexif (à un changement de norme équivalente près), mais elle permet toutefois aux espaces strictement convexes d'avoir certaines des propriétés remarquables d'espaces plus structurés. Une norme conférant à l'espace vectoriel qu'elle équipe la propriété de stricte convexité est appelée une norme arrondie.

Définition

La définition peut prendre plusieurs formes équivalentes.

La stricte convexité d'un espace normé donné n'est pas conservée par changement de norme équivalente : un espace de dimension finie est strictement convexe pour ses normes euclidiennes mais pas pour ses [[Norme (mathématiques)#En dimension finie|normes Modèle:Math et Modèle:Math]], par exemple, alors que toutes ses normes sont équivalentes. Il s'agit donc plus d'une propriété de la norme que de la topologie qu'elle définit. Pour cette raison, on parle parfois de norme strictement convexe, mais cela introduit une ambiguïté de langage dont il faudra se méfier, car l'application Modèle:Math n'est jamais strictement convexe, puisqu'elle est positivement homogène de degré 1 : Modèle:Math pour tout Modèle:Math positif. C'est en réalité la puissance Modèle:Math de la norme qui est strictement convexe, comme l'indique la définition 3. Certains auteurs préfèrent donc utiliser l'expression de norme arrondie, pour éviter l'ambiguïté relevée ci-dessus.

Propriété

Soient Modèle:Math un espace normé et Modèle:Math un vecteur non nul de Modèle:Math.

• On appelle élément conjugué dual de Modèle:Math tout élément Modèle:Math du dual topologique Modèle:Math de Modèle:Math vérifiant :$⟨f,x⟩=\Vert f\Vert \Vert x\Vert \text{ et }\Vert f\Vert =\Vert x\Vert .$L'existence de tels Modèle:Math est assurée par le théorème de Hahn-Banach (donc au moyen du lemme de Zorn).
• On dit que Modèle:Math est un espace lisseModèle:, si tout vecteur de Modèle:Math possède un unique élément conjugué dual.
  Ce nom vient du fait que Modèle:Math est lisse si et seulement si l'application ║ ║ possède une dérivée de Gateaux en tout vecteur unitaire Modèle:Math de Modèle:Math, dans la direction de tout Modèle:Math (ce qui équivaut à : Modèle:Nobr). Cette dérivée est alors égale à Modèle:Math, où Modèle:Math désigne l'élément conjugué dual de Modèle:Math.

Existence

À un changement de norme équivalente près, tout espace de Banach réflexif ou séparable est strictement convexe.

Le second énoncé fournit des exemples simples d'espaces de Banach strictement convexes mais (même à équivalence près) non uniformément convexes : il suffit de prendre un espace de Banach séparable (donc strictement convexe pour une certaine norme) mais non réflexif (donc uniformément convexe pour aucune norme, d'après le théorème de Milman-Pettis).

Annexes

Bibliographie

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