Relations d'Euler dans le triangle

$O{I}^2=R(R-2r)$

Les relations d'Euler dans le triangle sont des relations entre les rayons des cercles inscrit/exinscrits et circonscrit. Leonhard Euler les a publiées en 1767 Modèle:,Modèle:,, mais elles l'avaient déjà été par William Chappie en 1746.

Notons qu'on désigne aussi par relation d'Euler la relation vectorielle $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$ reliant le centre de gravité, l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit.

Énoncé des relations

Pour un triangle quelconque, on note Modèle:Mvar, Modèle:Mvar, Modèle:Mvar les centres respectifs des cercles circonscrit, inscrit, et exinscrit dans l'angle $\hat{A}$ (par exemple), et Modèle:Mvar, Modèle:Mvar, Modèle:Mvar leurs rayons respectifs.

Les relations d'Euler s'énoncent Modèle:Centrer ce qui peut aussi s'écrire : Modèle:Centrer ou encore : Modèle:Centrer

On en déduit l'inégalité d'Euler :

$R⩾2r$

laquelle est une égalité ssi le triangle est équilatéral .

Démonstrations

Première démonstration géométrique

Le calcul de la différence des puissances d'un point Modèle:Mvar par rapport à deux cercles s'exprime à partir de la projection Modèle:Mvar de Modèle:Mvar sur l'axe radical des deux cercles.

Cette démonstration utilise la propriété suivante des puissances d'un point par rapport à deux cerclesModèle:,Modèle:,. Étant donnés deux cercles de centres Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, et un point Modèle:Mvar se projetant en Modèle:Mvar sur l'axe radical, la différence des puissances de Modèle:Mvar par rapport aux deux cercles vérifie : $P_O(M)-P_{O^{\prime }}(M)=2\overrightarrow{O{O}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{HM}$. Modèle:Clr

Dans le triangle Modèle:Math, les bissectrices Modèle:Math et Modèle:Math étant perpendiculaires ainsi que Modèle:Math et Modèle:Math, le quadrilatère Modèle:Mvar est inscriptible dans un cercle de centre Modèle:Math, milieu du diamètre Modèle:Math.

Désignons par Modèle:Math le point d'intersection de la bissectrice issue de Modèle:Mvar avec le cercle circonscrit ; par le théorème de l'angle inscrit Modèle:Math est le milieu de l'arc $\stackrel{⌢}{BC}$ donc ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }B={\mathrm{\Omega }}^{\prime }C$. Mais $\mathrm{\Omega }B=\mathrm{\Omega }C$ également, donc Modèle:Math, et Modèle:Math appartient au cercle circonscrit.

D'après la propriété ci-dessus, $P_O(I)-P_{\mathrm{\Omega }}(I)=2\overrightarrow{O\mathrm{\Omega }}\cdot \overrightarrow{HI}=-2Rr$.

Or $P_O(I)=I{O}^2-R^2$ et $P_{\mathrm{\Omega }}(I)=0$, donc $I{O}^2=R^2-2Rr$.

De même, $P_O(I_A)-P_{\mathrm{\Omega }}(I_A)=2\overrightarrow{O\mathrm{\Omega }}\cdot \overrightarrow{KI}=-2R{r}_A$.

D'après la propriété ci-dessus, $P_O(I_A)-P_{\mathrm{\Omega }}(I_A)=2\overrightarrow{O\mathrm{\Omega }}\cdot \overrightarrow{K{I}_A}=2R{r}_A$.

Or $P_O(I_A)=I_A{O}^2-R^2$ et $P_{\mathrm{\Omega }}(I_A)=0$, donc $I_A{O}^2=R^2+2R{r}_A$.

Deuxième démonstration géométrique

Cette démonstration utilise les propriétés de l'angle inscrit et de la puissance d'un point par rapport à un cercle .

La droite Modèle:Math coupe le cercle circonscrit en Modèle:Mvar. Soit Modèle:Mvar le point diamétralement opposé à Modèle:Mvar sur ce cercle.

Soit Modèle:Mvar le pied de la perpendiculaire menée de Modèle:Mvar sur Modèle:Math. C'est un point de tangence du cercle inscrit, en sorte qu'on a Modèle:Mvar.

Les angles $\widehat{LAB}$ et $\widehat{LMB}$ sont égaux, puisqu'ils soutiennent le même arc capable. Les triangles rectangles Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont donc semblables puisqu'ils ont un angle non droit identique.

On en déduit : Modèle:Math, d'où Modèle:Math, et par conséquent : Modèle:Math.

D'autre part l'angle $\widehat{LIB}$ est le supplémentaire de l'angle $\widehat{AIB}$, c'est donc la somme des angles $\widehat{IAB}$ et $\widehat{IBA}$, soit la demi-somme des angles $\widehat{CAB}$ et $\widehat{CBA}$ et l'angle $\widehat{IBL}$ est la somme des angles $\widehat{IBC}$ et $\widehat{CBL}$, soit la somme des angles $\widehat{IBC}$ et $\widehat{CAL}$ (par propriété de l'angle inscrit), soit aussi la demi-somme des angles $\widehat{CAB}$ et $\widehat{CBA}$.

Le triangle Modèle:Mvar est donc isocèle, et par conséquent Modèle:Math, et : Modèle:Math.

Or, selon la propriété de la puissance d'un point par rapport à un cercle, puisque que Modèle:Mvar est intérieur au cercle, $IA\times IL=R^2-O{I}^2$.

Par conséquent : $R^2-O{I}^2=2Rr$, soit $O{I}^2=R^2-2rR=R(R-2r)$, ce qu'il fallait démontrer.

Note : une démonstration similaire mais plus générale puisqu'elle permet d'obtenir à la fois Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, se trouve dans.

Démonstration calculatoire

Le point Modèle:Mvar ayant pour coordonnées barycentriques $(a,b,c)$, on a

$(a+b+c)\overrightarrow{OI}=a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}+c\overrightarrow{OC}$.

D'où, en utilisant le théorème de l'angle au centre :

$(a+b+c{)}^{2}O{I}^2=(a^2+b^2+c^2)R^2+2ab{R}^2\cos 2\hat{C}+2bc{R}^2\cos 2\hat{A}+2ac{R}^2\cos 2\hat{B}$.

Or

$\cos 2\hat{C}=1-2{\sin }^2\hat{C}$, etc.,

donc

$(a+b+c{)}^{2}O{I}^2=R^2[(a+b+c{)}^2-4ab{\sin }^2\hat{C}-4bc{\sin }^2\hat{A}-4ca{\sin }^2\hat{B}]$.

Comme $2S=ab\sin \hat{C}$ et $4RS=abc$, on a $4ab{\sin }^2\hat{C}=4c\frac{S}{R}$, etc.

Donc

$(a+b+c{)}^{2}O{I}^2=R^2[(a+b+c{)}^2-4\frac{S}{R}(a+b+c)]$.

Comme

$2S=r(a+b+c)$

, on obtient

$O{I}^2=R^2(1-2\frac{r}{R})=R(R-2r)$

.

Si $O{I}^2=R(R-2r)$ la ligne brisée partant de A se referme en trois coups.

La relation pour le cercle exinscrit s'obtient similairement en utilisant

$(-a+b+c)\overrightarrow{O{I}_A}=-a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}+c\overrightarrow{OC}$

.

Problème réciproque

Étant donné un cercle $C_O$ de centre $O$ et de rayon $R$, et un cercle $C_I$ de centre $I$ et de rayon $r$ vérifiant $O{I}^2=R(R-2r)$, existe-t-il un triangle dont les cercles circonscrit et inscrit soient $C_O$ et $C_I$ ?

Non seulement la réponse est positive, mais d'après le porisme de Poncelet, le premier sommet du triangle peut être choisi quelconque sur $C_O$ Modèle:,.

Notons que le cercle $C_I$ est intérieur au cercle $C_O$ car $OI=\sqrt{R^2-2r}⩽\sqrt{(R-r{)}^2}=R-r$.

Voir aussi

• Théorème de Fuss (analogue pour le quadrilatère)
• Polygone bicentrique, où se trouvent des formules pour les polygones d'ordre 5, 6, 8.
• Porisme de Poncelet
• Liste de sujets portant le nom d'Euler