Polygone bicentrique

Un triangle équilatéral.

Un cerf-volant bicentrique.

Un trapèze isocèle bicentrique.

Un pentagone régulier.

Un polygone bicentrique est un polygone ayant à la fois un cercle circonscrit et un cercle inscrit. D'une part, tous les sommets du polygone appartiennent à un même cercle (le cercle circonscrit), et d'autre part, toutes les arêtes sont tangentes à un même cercle (le cercle inscrit).

Un polygone qui admet un cercle circonscrit est dit inscriptible ; un polygone qui admet un cercle inscrit est dit circonscriptible ou tangentiel. Un polygone bicentrique est donc à la fois inscriptible et circonscriptible.

Tout triangle est bicentrique, ainsi que tout polygone régulier. Toutefois à partir de 4 côtés, seuls certains polygones sont bicentriques. Par exemple, un rectangle dont les côtés consécutifs sont de longueurs différentes n'est pas bicentrique, car il n'admet pas de cercle inscrit (aucun cercle ne peut être tangent aux quatre côtés).

Triangles

Tout triangle est bicentrique. Dans un triangle, les rayons respectifs Modèle:Mvar et Modèle:Mvar du cercle inscrit et du cercle circonscrit sont liés par la relation d'Euler :

$\frac{1}{R-x}+\frac{1}{R+x}=\frac{1}{r}$

où Modèle:Mvar est la distance entre les centres des cercles.

Quadrilatères bicentriques

Modèle:Article détaillé Tout quadrilatère n'est pas systématiquement bicentrique. Pour être bicentrique, un quadrilatère doit satisfaire aux conditions pour être inscriptible dans un cercle (c'est-à-dire admettre un cercle circonscrit), et pour être circonscriptible (c'est-à dire admettre un cercle inscrit).

Soient deux cercles de rayons Modèle:Mvar et Modèle:Mvar où Modèle:Mvar > Modèle:Mvar , tels que le petit cercle soit à l'intérieur du grand. Alors il existe un quadrilatère convexe, inscrit dans l'un d'eux, et tangent à l'autre si et seulement si leurs rayons satisfont le théorème de Fuss :

$\frac{1}{(R-x{)}^2}+\frac{1}{(R+x{)}^2}=\frac{1}{r^2}$

où Modèle:Mvar est la distance entre les centres des cercles.

Polygones d'ordre Modèle:Mvar

Une formule générale faisant intervenir la fonction elliptique de Jacobi relie le rayon Modèle:Mvar du cercle circonscrit, le rayon Modèle:Mvar du cercle inscrit dans un polygone bicentrique et la distance Modèle:Mvar entre les centres en fonction du nombre Modèle:Mvar de côtés Modèle:,. Ainsi par exemple, en posant $p=\frac{R+x}{r}$, $q=\frac{R-x}{r}$, $a=\frac{1}{p},b=\frac{1}{q}$, on a :

$\begin{array}{cc}n& =3:(p-1)(q-1)=1,a+b=1\\ n& =4:(p^2-1)(q^2-1)=1,a^2+b^2=1\\ n& =5:4p^2{q}^2(p-1)(q-1)=(p^2+q^2-p^2{q}^2{)}^2,(a+b-1{)}^3=4(a^3+b^3-1)\\ n& =6:4p^2{q}^2(p^2-1)(q^2-1)=(p^2+q^2-p^2{q}^2{)}^2,(a^2-b^2{)}^2+a^2+b^2=3\\ n& =8:16p^4{q}^4(p^2-1)(q^2-1)=(p^2+q^2-p^2{q}^2{)}^4\end{array}$

La suite des degrés Modèle:Mvar de cette relation algébrique exprimée en fonction de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar suivant les valeurs de Modèle:Mvar est donnée par la Modèle:OEIS ; À partir de Modèle:Mvar = 3 : Modèle:Mvar = 1, 2, 3, 4, 6, 8,....

Polygones réguliers

Tout polygone régulier est bicentrique. Dans un polygone régulier, le cercle inscrit et le cercle circonscrit sont concentriques, et leur centre commun est également le centre du polygone régulier. Le rayon du cercle inscrit est l'apothème du polygone régulier, c'est-à-dire la distance entre le centre et les côtés du polygone.

Dans un polygone régulier de côté Modèle:Mvar, le rayon Modèle:Mvar du cercle inscrit et le rayon Modèle:Mvar du cercle circonscrit vérifient :

$R=\frac{a}{2\sin \frac{\pi }{n}}=\frac{r}{\cos \frac{\pi }{n}}.$

Pour les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas (c'est-à-dire, d'après le théorème de Gauss-Wantzel, si Modèle:Mvar est le produit d'une puissance de 2 et d'un nombre de nombres premiers de Fermat distincts), les coefficients des relations ci-dessus peuvent être exprimés à l'aide des opérations usuelles et de radicaux carrés.

$n$	$R\text{et}a$	$r\text{et}a$	$r\text{et}R$
3	$R\sqrt{3}=a$	$r=\frac{a}{2\sqrt{3}}$	$R=2r$
4	$R\sqrt{2}=a$	$r=\frac{a}{2}$	$R=r\sqrt{2}$
5	$R\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}=a$	$r(\sqrt{5}-1)=\frac{a}{10}\sqrt{50+10\sqrt{5}}$	$R=r(\sqrt{5}-1)$
6	$R=a$	$r=\frac{3a}{2\sqrt{3}}$	$R=\frac{2}{\sqrt{3}}r$
8	$R\sqrt{2-\sqrt{2}}=a$	$r=\frac{a}{2}(1+\sqrt{2})$	$R=r\sqrt{4-2\sqrt{2}}$
10	$(\sqrt{5}-1)R=2a$	$2r\sqrt{25-10\sqrt{5}}=5a$	$R=r\sqrt{\frac{10-2\sqrt{5}}{5}}$

On a donc les approximations décimales suivantes :

$n$		$R/a$		$r/a$		$R/r$
$3$		$0,577$		$0,289$		$2,000$
$4$		$0,707$		$0,500$		$1,414$
$5$		$0,851$		$0,688$		$1,236$
$6$		$1,000$		$0,866$		$1,155$
$8$		$1,307$		$1,207$		$1,082$
$10$		$1,618$		$1,539$		$1,051$

Le porisme de Poncelet

Modèle:Article détaillé Si deux cercles donnés sont les cercles inscrits et circonscrits d'un polygone bicentrique à Modèle:Mvar côtés, alors ces deux mêmes cercles sont les cercles inscrits et circonscrits d'une infinité de polygones bicentriques d'ordre Modèle:Mvar.

Plus précisément, en partant d'un point Modèle:Mvar quelconque sur le cercle circonscrit, on trace une tangente au cercle inscrit passant par Modèle:Mvar, qui coupe le cercle circonscrit en un nouveau point Modèle:Mvar'. Depuis ce point, on trace à nouveau une tangente au cercle inscrit, qui coupe le cercle circonscrit en un nouveau point, et ainsi de suite. Le grand théorème de Poncelet garantit que la chaîne polygonale ainsi formée se refermera sur le point Modèle:Mvar initial après Modèle:Mvar étapes, formant ainsi un nouveau polygone d'ordre Modèle:Mvar. Ce théorème s'applique même au cas plus général des polygones inscrit et circonscrits à des coniques (et pas seulement à des cercles).