Volume d'une boule

Modèle:Ébauche Le volume d'une boule de rayon Modèle:Math est :Modèle:Bloc emphase

Histoire

Sphère inscrite dans un cylindre de révolution.

Euclide, dans la proposition 18 du livre XII de ses Éléments, vers 300 av. J-C., énonce que le volume d'une boule est proportionnel au cube de son diamètre. Il démontre ce résultat par la méthode d'exhaustion, en encadrant la boule par des polyèdres.

Archimède, dans De la sphère et du cylindre (vers 220 av J.-C.) compare les volumes d'une boule, d'un cylindre et d'un cône. Il connaît le volume du cylindre et du cône et démontre que, si une boule est inscrite dans un cylindre, alors le volume de cette boule est égal aux deux tiers de celui du cylindre circonscrit (et au double du volume du cône ayant la même base et la même hauteur que le cylindre). Il démontre que le rapport entre les aires de la sphère et du cylindre est le même qu'entre les volumes des parties de l'espace qu'elles délimitent ; ce qu'il énonce ainsi : Modèle:Citation bloc Cette découverte fera de lui un mathématicien particulièrement important dans l'Histoire. Il en est si fier qu'il donne des instructions pour que sa tombe soit gravée d'une sphère inscrite dans un cylindreModèle:,. Modèle:Clr

Démonstrations

Par la méthode d'exhaustion

Modèle:... Le principe de la méthode d'exhaustion (attribuée à Eudoxe de Cnide) est un double raisonnement par l'absurde, supposant d'abord que le volume est supérieur à Modèle:SfracModèle:Math, puis qu'il est inférieur, et à obtenir une contradiction dans chaque cas. Bien que cette démonstration soit rigoureuse, elle suppose de connaître déjà le résultat à établir ; avant la découverte du palimpseste d'Archimède, on ignorait comment il était parvenu à obtenir ceux du traité De la sphère et du cylindre.

Par le calcul intégral

Illustration du calcul du volume d'une boule par intégration

La méthode d'Archimède (redécouverte dans le palimpseste portant son nom) consiste à découper la boule en disques minces, donc des cylindres, dont on ajoute le volume (assimilé au produit de leur surface par leur épaisseur). En langage moderne, cela revient à calculer la limite d'une somme de Riemann, et donc à calculer une intégrale définie. Si l'on considère la variable h allant de –R à R, le cylindre correspondant à la hauteur h et d'épaisseur infinitésimale dh a pour rayon rModèle:Ind vérifiant, d'après le théorème de Pythagore rModèle:IndModèle:2 + hModèle:2 = RModèle:2 ; comme le volume de ce cylindre est Modèle:Nobr on obtient comme volume de la boule

$V=\underset{-R}{\overset{R}{\int }}\pi (R^2-h^2)\mathrm{d}h=\frac{4\pi R^3}{3}.$

De même et plus généralement, le volume d'une « calotte », portion de boule limitée par deux plans parallèles, à distance Modèle:Math, et dont l'un est tangent à la sphère, est

$V_D=\underset{R-D}{\overset{R}{\int }}\pi (R^2-h^2)\mathrm{d}h=\frac{\pi D^2(3R-D)}{3}$

(Modèle:Math).

Plus généralement encore, le volume d'une « tranche » d'épaisseur Modèle:Math entre deux plans de cotes Modèle:Math et Modèle:Math (où Modèle:Math), est

$V_{H,H^{\prime }}=\underset{H^{\prime }}{\overset{H}{\int }}\pi (R^2-h^2)\mathrm{d}h=\frac{\pi D(3R^2-(H^2+H{H}^{\prime }+H{\text{'}}^2))}{3}$(avec Modèle:Math).

Articles connexes

• Calcul du volume de l'hypersphère
• Problème du rond de serviette