Loi inverse-gaussienne généralisée

Modèle:Infobox Distribution statistiques En théorie des probabilités et en statistique, la loi inverse-gaussienne généralisée (GIG, pour generalized inverse Gaussian distribution en anglais) est une loi de probabilité continue qui généralise la loi inverse-gaussienne en introduisant un troisième paramètre.

Cette loi est utilisée, par exemple, en géostatistique, en hydrologie ou en finance. Elle a été initialement proposée par le statisticien et hydrologue Étienne Halphen, puis la loi a été popularisée par Modèle:Lien qui lui a donné son nom, ainsi que par Modèle:Lien, la loi est également connue sous le nom de loi de Sichel.

La notation $X\sim GIG(\lambda ,\delta ,\gamma )$ indique que la variable aléatoire X suit une loi inverse-gaussienne généralisée.

Caractérisation

La densité de probabilité de la loi inverse-gaussienne généralisée est donnée par :

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{\left(\frac{\gamma }{\delta }\right)}^{\lambda }\frac{1}{2K_{\lambda }(\delta \gamma )}{x}^{\lambda -1}{e}^{-\frac{1}{2}({\gamma }^{2}x+\frac{{\delta }^2}{x})}& \text{ si }x>0\\ 0& \text{ sinon}\end{array}$

où $K_{\lambda }$ est la fonction de Bessel modifiée de troisième espèce et de paramètre $\lambda$, et les paramètres vérifient :

$\{\begin{array}{cc}\delta \ge 0,\gamma >0& \text{ si }\lambda >0,\\ \delta >0,\gamma >0& \text{ si }\lambda =0,\\ \delta >0,\gamma \ge 0& \text{ si }\lambda <0.\end{array}$

Entropie

L'entropie de la loi inverse-gaussienne généralisée est donnée par :

$H(f(x))=\log \left(\frac{\delta }{\gamma }\right)+\log \left(2K_{\lambda }\left(\delta \gamma \right)\right)-(\lambda -1)\frac{{\left[\frac{d}{d\nu }{K}_{\nu }\left(\delta \gamma \right)\right]}_{\nu =\lambda }}{K_{\lambda }\left(\delta \gamma \right)}+\frac{\delta \gamma }{2K_{\lambda }\left(\delta \gamma \right)}(K_{\lambda +1}\left(\delta \gamma \right)+K_{\lambda -1}\left(\delta \gamma \right))$

où ${\left[\frac{d}{d\nu }{K}_{\nu }\left(\delta \gamma \right)\right]}_{\nu =\lambda }$ est la dérivée par rapport à l'ordre $\nu$ de la fonction de Bessel modifiée et évaluée en $\nu =\lambda$.

Liens avec d'autres lois

• Lorsque $\lambda =-1/2$, la loi $\text{GIG}(-1/2,\delta ,\gamma )$ est une loi inverse-gaussienne.
• La loi gamma est un cas particulier de la loi inverse-gaussienne généralisée pour $\delta =0$.