Transformation inverse de Laplace

La transformation inverse de Laplace (notée ${ℒ}^{-1}$) est la fonction inverse de la transformation de Laplace. La transformation de Laplace a beaucoup d'avantages car la plupart des opérations courantes sur la fonction originale Modèle:Formule, telle que la dérivation, ou un décalage sur la variable Modèle:Formule, ont une traduction (plus) simple sur la transformée Modèle:Formule, mais ces avantages sont sans intérêt si on ne sait pas calculer la transformée inverse d'une transformée donnée.

Définition

La transformation inverse de Laplace d'une fonction holomorphe Modèle:Math est une fonction Modèle:Math, continue par morceaux, qui a la propriété : $ℒ\left\{f\right\}=F$, c'est-à-dire telle que :

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-pt}f(t)\mathrm{d}t=F(p)$

Propriétés

Unicité

On peut démontrer que si Modèle:Mvar a une transformée de Laplace inverse, alors celle-ci est unique (en dehors des points de discontinuité).

Linéarité

Comme la transformation de Laplace, son opération inverse est linéaire :

${ℒ}^{-1}\{af+bg\}=a{ℒ}^{-1}\left\{f\right\}+b{ℒ}^{-1}\left\{g\right\}$

Calcul

Méthodes analytiques

Il n’existe pas de formule analytique générale permettant de calculer Modèle:Formule connaissant Modèle:Formule. On connaît cependant l’expression exacte de Modèle:Formule pour certaines fonctions particulières Modèle:Formule.

L'inversion de la transformation de Laplace s'effectue par le biais d'une intégrale dans le plan complexe. En exprimant Modèle:Formule sous forme de transformée de Fourier et en utilisant la formule d'inversion de Fourier, on démontre la formule de Bromwich-MellinModèle:,:

$f(t)={ℒ}^{-1}\{F(p)\}=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\underset{\gamma -\mathrm{i}\cdot \mathrm{\infty }}{\overset{\gamma +\mathrm{i}\cdot \mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{pt}F(p)\mathrm{d}p,$

où Modèle:Math est choisi de sorte que l'intégrale soit convergente, ce qui implique que Modèle:Math soit supérieur à la partie réelle de toute singularité de Modèle:Formule et qu'à l'infini, Modèle:Formule tende vers 0 au moins aussi rapidement que Modèle:Math. Lorsque cette dernière condition n'est pas satisfaite, la formule ci-dessus est encore utilisable s'il existe un entier Modèle:Mvar tel que |Modèle:Math| tende vers 0 aussi rapidement que 1/|Modèle:Math|Modèle:2, c'est-à-dire lorsque, pour |Modèle:Math| tendant vers l'infini, |Modèle:Math| est majorée par un polynôme en |Modèle:Math|. En remplaçant Modèle:Formule par Modèle:Math dans l'intégrale ci-dessus, on trouve dans le membre de gauche de l'égalité une fonction généralisée à support positif dont la [[Distribution (mathématiques)#Dérivation des distributions|dérivée d'ordre Modèle:Formule (au sens des distributions)]] est la fonction généralisée (elle aussi à support positif) cherchée. Si Modèle:Formule est la transformée de Laplace d'une fonction de type exponentiel, la formule de Bromwich-Mellin est encore valable si l'intégrale est prise au sens de la valeur principale. En pratique néanmoins, la formule de Bromwich-Mellin est peu utilisée, et on calcule les inverses des transformées de Laplace à partir des tables de transformées de Laplace.

Méthodes numériques

Pour les cas de figure pour lesquels on ne peut pas trouver une solution analytique, on peut employer l’une des deux méthodes numériques suivantes :

Méthode de Stehfest

La méthode de Stehfest, aussi connu sous le nom d'algorithme de Stehfest, est une méthode qui permet de calculer les valeurs de Modèle:Formule. Elle a été publiée par Harald Stehfest en 1970.

La transformée inverse de la fonction Modèle:Formule peut se calculer par : $f(t)=\frac{\ln (2)}{t}\sum _{j=1}^N{V}_{j}F\left(\frac{j\ln (2)}{t}\right)$ avec N pair et Modèle:Mvar donné par : Modèle:Retrait où $\lfloor \cdot \rfloor$ désigne la partie entière.

Pour N=10 : Modèle:Retrait

Méthode de Fourier

$f(t)=\frac{\exp (ct)}{t_{\max }}[\frac{F(c)}{2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Re }[F(c+j{\omega }_k)]\cos ({\omega }_{k}t)-\mathrm{\Im }[F(c+j{\omega }_k)]\sin ({\omega }_{k}t))]$
avec ${\omega }_k=\frac{k\pi }{t_{\max }}$

La somme infinie est dans la pratique calculée pour un nombre fini de Modèle:Formule termes, on prendra en général Modèle:Formule. Cette méthode nécessite de choisir deux paramètres : Modèle:Formule et Modèle:Formule. On doit s’assurer a posteriori que $\exp (-2c{t}_{\max })f(2t_{\max })\approx 0$.

Choix d’une méthode et vérification des résultats

La méthode de Stehfest est plus simple à mettre en œuvre car elle ne nécessite pas de choisir certains paramètres. La méthode de Fourier peut conduire à un meilleur résultat dans le cas d’inversion de certaines fonctions comme les fonctions périodiques par exemple. L’étude du comportement de la fonction Modèle:Formule aux temps longs (Modèle:Math soit Modèle:Math) et aux temps courts (Modèle:Math soit Modèle:Math) peut conduire à des formules approchées de Modèle:Math dont on peut alors trouver la transformée de Laplace inverse analytiquement. La comparaison de ces solutions analytiques avec les résultats de l’inversion numérique donne une indication sur la justesse de l’inversion numérique.

Formule d'inversion de Post-Widder

Cette formule permet de donner une expression de la transformée inverse de Laplace dans le cas d'une fonction continue bornée.

Voir aussi

Bibliographie

• Jean Bass, Cours de mathématiques, tome II, Masson, 1964, Modèle:P.
• Laurent Schwartz, Méthodes mathématiques pour les sciences physiques, Hermann, 1965

Lien externe

Transformation inverse de Laplace Modèle:Pdf