Type exponentiel

Représentation graphique de la fonction ${\mathrm{e}}^{-\pi z^2}$, une fonction gaussienne sur l'axe réel. Cette fonction n'a pas de type exponentiel, mais peut être approchée de chaque côté par deux fonction (en rouge et bleu) de type exponentiel Modèle:Math.

En analyse complexe, une fonction holomorphe est dite de type exponentiel C si sa croissance est bornée par la fonction exponentielle Modèle:Math avec une constante réelle Modèle:Mvar, pour |z| → ∞. Quand une fonction est bornée de la sorte, il est alors possible de l'exprimer comme une somme convergente de série d'autres fonctions complexes, de même qu'il est possible d'appliquer des techniques comme la sommation de Borel, ou, par exemple, d'appliquer la transformation de Mellin, ou d'obtenir des approximations comme la formule d'Euler-Maclaurin. Le cas général est décrit par le théorème de Nachbin, qui utilise la notion analogue de type Modèle:Math pour une fonction générale Modèle:Math à la place d'une fonction exponentielle.

Principe

Une fonction Modèle:Math définie sur le plan complexe est dite de type exponentiel s'il existe des constantes réelles Modèle:Mvar et Modèle:Math telles que

$\left|f\left(r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right)\right|\le M{\mathrm{e}}^{\tau r}$

dans le cas où $r\to \mathrm{\infty }$. Ici, la variable complexe Modèle:Mvar est écrite sous la forme Modèle:Math pour indiquer que la limite est indépendante de la direction Modèle:Mvar. En notant Modèle:Mvar (de façon abusive) l'infimum de tous les Modèle:Mvar qu conviennent, on dit que la fonction Modèle:Mvar est de type exponentiel Modèle:Mvar.

Considérons par exemple Modèle:Math. Alors on dit que Modèle:Mvar est de type exponentiel Modèle:Math, car Modèle:Math est le plus petit nombre qui borne la croissance de Modèle:Math sur l'axe imaginaire. Ainsi, dans ce cas, le théorème de Carlson ne s'applique pas, car il n'est vrai que pour des fonctions de type exponentiel inférieur à Modèle:Math. De même, la formule d'Euler-Maclaurin ne s'applique pas non plus, dans la mesure où elle est liée à un théorème lié à la théorie des différences finies.

Définition formelle

Une fonction holomorphe Modèle:Math est dite de type exponentiel Modèle:Math si

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }A\in ℝ,|F(z)|\le A{\mathrm{e}}^{(\sigma +\epsilon )|z|}$

quand $|z|\to \mathrm{\infty }$ avec $z\in ℂ$. On dira que Modèle:Math est de type exponentiel si Modèle:Math est de type exponentiel Modèle:Math pour un certain Modèle:Math.

Le nombre

$\tau (F)=\sigma =\underset{|z|\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\log |F(z)|}{|z|}$

est le type exponentiel de Modèle:Math. La limite supérieure désigne ici la limite du supremum du rapport au-delà d'un rayon donné alors que le rayon tend vers l'infini. Cette limite supérieure peut exister même si le maximum au rayon Modèle:Mvar n'a pas de limite quand Modèle:Mvar tend vers l'infini. Par exemple, pour la fonction

$F(z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{10^{n!}}}{(10^{n!})!}$

La valeur de

$\frac{\underset{|z|=r}{\max }\log |F(z)|}{r}$

pour Modèle:Math est majoré par le Modèle:MathModèle:E terme donc on a les expressions asymptotiques :

$\begin{array}{cc}(\underset{|z|=10^{n!-1}}{\max }\log |F(z)|)/10^{n!-1}& \sim (\log \frac{(10^{n!-1}{)}^{10^{(n-1)!}}}{(10^{(n-1)!})!})/10^{n!-1}\\ & \sim (\log 10)[(n!-1)10^{(n-1)!}-10^{(n-1)!}(n-1)!]/10^{n!-1}\\ & \sim (\log 10)(n!-1-(n-1)!)/10^{n!-1-(n-1)!}\\ \end{array}$

et tend vers 0 pour Modèle:Mvar tend vers l'infini, mais Modèle:Math est tout de même de type exponentiel 1, comme on peut le voir aux points Modèle:Math.

Exemples

Les fonctions constantes sont de type exponentiel.

Propriétés

Le produit de deux fonctions de type exponentiel est également de type exponentiel.

Type exponentiel sur un ensemble convexe symétrique

Modèle:Harv a donné une généralisation de type exponentiel pour les fonctions entières de plusieurs variables complexes. Soit Modèle:Mvar un sous-ensemble convexe, compact et symétrique de ${ℝ}^n$. On sait que pour tout Modèle:Mvar, il existe une norme associé $\Vert \cdot {\Vert }_K$ pour laquelle Modèle:Mvar est la boule unité de ${ℝ}^n$ :

$K=\{x\in {ℝ}^n:\Vert x{\Vert }_K\le 1\}.$

Alors l'ensemble

$K^{*}=\{y\in {ℝ}^n:x\cdot y\le 1\text{ pour tout }x\in K\}$

est appelé l'ensemble polaire de Modèle:Mvar C'est aussi un sous-ensemble convexe, compact et symétrique de ${ℝ}^n$. De plus, on peut écrire

$\Vert x{\Vert }_K=\underset{y\in K^{*}}{\sup }|x\cdot y|.$

On étend $\Vert \cdot {\Vert }_K$ sur ${ℝ}^n$ vers ${ℂ}^n$ par

$\Vert z{\Vert }_K=\underset{y\in K^{*}}{\sup }|z\cdot y|.$

Une fonction entière Modèle:Math de Modèle:Mvar variables complexes est dite de type exponentiel par rapport à Modèle:Mvar si :

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }A\in ℝ,\mathrm{\forall }z\in {ℂ}^n|F(z)|<A{\mathrm{e}}^{2\pi (1+\epsilon )\Vert z{\Vert }_K}.$

Espace de Fréchet

Des collections de fonctions de type exponentiel Modèle:Mvar peuvent former un espace complet uniforme, qu'on appelle espace de Fréchet, par la topologie induite par la famille dénombrable des normes :

$\Vert f{\Vert }_n=\underset{z\in ℂ}{\sup }\exp [-(\tau +\frac{1}{n})|z|]|f(z)|.$

Voir aussi

• Théorème de Paley-Wiener
• Espace de Paley-Wiener

Références

• Modèle:Article