Réarrangement symétrique décroissant

En analyse à plusieurs variables, le réarrangement symétrique décroissantModèle:, d'une fonction f de ℝModèle:Exp dans ℝ est une fonction symétrique décroissante dont les ensembles de sur-niveau sont de même taille que ceux de f.

Définition pour les ensembles

Le réarrangement A* d'une partie mesurable A de ℝModèle:Exp est la [[n-sphère#Volume|boule ouverte de ℝModèle:Exp]] de centre 0 et de volume égal à celui de A. Formellement :

$A^{*}=\{x\in {ℝ}^n|{\omega }_n|x{|}^n<|A|\},$

où Modèle:Math est le volume de la boule unité et |A| est le volume de A.

Définition pour les fonctions

Soit Modèle:Math une fonction mesurable positive et, pour tout réel Modèle:Math, ${𝕀}_{[f>t]}$ la fonction indicatrice de son ensemble de sur-niveau Modèle:Math, c'est-à-dire de l'ensemble

Le réarrangement Modèle:Math de Modèle:Math est défini par

$f^{*}(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{𝕀}_{[f>t{]}^{*}}(x)\mathrm{d}t.$

Propriétés

• Pour toute partie mesurable A,Modèle:RetraitEn effet, pour toute fonction positive Modèle:Math,Modèle:Retrait
• Modèle:Math est symétrique (c'est-à-dire que Modèle:Math(x) est fonction uniquement de la norme euclidienne de x) et décroissante (en tant que fonction de cette norme).
• Les ensembles de sur-niveau de Modèle:Math sont les réarrangements de ceux de Modèle:Math et ont par conséquent même mesure, c'est-à-dire que pour tout réel Modèle:Math,Modèle:Retrait
• Le réarrangement préserve l'ordre :Modèle:Retrait
• Si Modèle:Math appartient à l'[[Espace Lp|espace LModèle:Exp]], alors Modèle:Math aussi etModèle:Retrait
• Le réarrangement fait décroître la distance dans LModèle:Exp : si Modèle:Math et Modèle:Math appartiennent à LModèle:Exp, alorsModèle:Retrait
• Inégalité de Hardy-Littlewood :Modèle:Retrait
• Modèle:Lien : si Modèle:Math et si Modèle:Math appartient à l'espace de Sobolev Modèle:Nobr, alorsModèle:Retrait

Applications

• L'inégalité de Pólya-Szegő donne, dans le cas limite p = 1, l'inégalité isopérimétrique.
• En utilisant certaines relations avec les fonctions harmoniques, on peut démontrer l'Modèle:Lien.