Inégalité de Hardy-Littlewood

L'inégalité de Hardy-Littlewood est un théorème d'analyse à plusieurs variables d'après lequel, si Modèle:Math et Modèle:Math sont des fonctions Lebesgue-mesurables de ℝModèle:Exp dans Modèle:Math et si Modèle:Math et Modèle:Math sont leurs réarrangements symétriques décroissants, alorsModèle:,

$\underset{{ℝ}^n}{\int }fg\mathrm{d}\lambda \le \underset{{ℝ}^n}{\int }{f}^{*}{g}^{*}\mathrm{d}\lambda ,$

où Modèle:Math désigne la mesure de Lebesgue sur ℝModèle:Exp.

Démonstration

Dans le cas particulier où Modèle:Math et Modèle:Math sont des fonctions indicatrices, compte tenu de la propriété $({𝕀}_A{)}^{*}={𝕀}_{A^{*}}$, l'inégalité à démontrer se réécrit

$\lambda (A\cap B)\le \lambda (A^{*}\cap B^{*})$

et vient du fait que si, par exemple Modèle:Math, alors Modèle:Math donc

$\lambda (A\cap B)\le \lambda (A)=\lambda (A^{*})=\lambda (A^{*}\cap B^{*}).$

Pour en déduire le cas général, on utilise que pour toute fonction positive Modèle:Math et tout réel Modèle:Math, si l'on note Modèle:Math l'ensemble de sur-niveau associé, c'est-à-dire

on a :

Grâce au théorème de Fubini, on obtient ainsiModèle:, :

Articles connexes

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