Norme matricielle

En mathématiques, une norme matricielle est un cas particulier de norme vectorielle, sur un espace de matrices.

Dans ce qui suit, K désigne le corps des réels ou des complexes.

Définition

Certains auteurs définissent une norme matricielle comme étant simplement une norme sur un espace vectoriel MModèle:Ind(K) de matrices à m lignes et n colonnes à coefficients dans K.

Pour d'autres, une norme matricielle est seulement définie sur une algèbre MModèle:Ind(K) de matrices carrées et est une norme d'algèbre, c'est-à-dire qu'elle est de plus sous-multiplicative.

Exemples de normes matricielles

Norme de Frobenius

La norme de Frobenius sur ${\mathrm{M}}_{m,n}(K)$ est celle qui dérive du produit scalaire ou hermitien standard sur cet espace, à savoir

$(A,B)\in {\mathrm{M}}_{m,n}(K{)}^2\mapsto ⟨A,B⟩=\mathrm{tr}(A^{*}B)=\mathrm{tr}(B{A}^{*})$,

où $A^{*}$ désigne la matrice adjointe de $A$ et $\mathrm{tr}$ la trace. La norme de Frobenius est souvent notée

$\Vert A{\Vert }_F:=(\mathrm{tr}{A}^{*}A{)}^{1/2}=(\mathrm{tr}A{A}^{*}{)}^{1/2}=\sqrt{\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{1\le i\le m}{1\le j\le n}}{\left|A_{ij}\right|}^2}$.

C'est la norme euclidienne ou hermitienne standard de la matrice considérée comme une collection de $m\times n$ scalaires.

Si $K=ℝ$, le point de vue précédent permet d'en déduire le sous-différentiel de la norme de Frobenius, qui s'écrit en $A\in {\mathrm{M}}_{m,n}(ℝ)$ :

$\partial (\Vert \cdot {\Vert }_F)(A)=\{B\in M_{m,n}(K)\mid \Vert B{\Vert }_F\le 1,⟨B,A⟩=\Vert A{\Vert }_F\}$.

En réalité, $\Vert \cdot {\Vert }_F$ est différentiable sauf en zéro où $\partial (\Vert \cdot {\Vert }_F)(0)$ est la boule unité pour la norme de Frobenius.

La norme de Frobenius n'est pas une norme subordonnée, parce que $\Vert I_n{\Vert }_F=\sqrt{n}$ (on a noté $I_n$ l'opérateur identité sur ${ℝ}^n$), mais c'est une norme sous-multiplicative : $\Vert AB{\Vert }_F⩽\Vert A{\Vert }_F\Vert B{\Vert }_F$.

La norme de Frobenius peut s'étendre à un espace hilbertien (de dimension infinie) ; on parle alors de norme de Hilbert-Schmidt ou encore norme 2 de Schatten.

Normes d'opérateur

On peut aussi voir une matrice A ∈ MModèle:Ind(K) comme un opérateur linéaire de KModèle:Exp dans KModèle:Exp et lui associer différents types de normes d'opérateur, à partir des normes utilisées sur KModèle:Exp et KModèle:Exp. Par exemple, si l'on munit KModèle:Exp de la norme p et KModèle:Exp de la norme q (avec p, q ∈ Modèle:Math), on obtient la norme d'opérateur

$\Vert A{\Vert }_{p,q}:=\underset{\Vert x{\Vert }_q⩽1}{\sup }\Vert Ax{\Vert }_p$.

En particulier, on note parfois

$\Vert A\Vert :=\Vert A{\Vert }_{2,2}$,

que l'on appelle parfois la norme spectrale ou encore [[#Normes de Schatten|norme Modèle:Math de Schatten]].

Norme nucléaire

La norme duale de la norme spectrale $\Vert \cdot \Vert$ pour le produit scalaire ou hermitien standard de MModèle:Ind(K), notée et définie par

$\Vert A{\Vert }_{*}:=\underset{\Vert B\Vert ⩽1}{\sup }|⟨A,B⟩|$,

porte différents noms : norme nucléaire ou norme de Ky Fan ou encore norme 1 de Schatten.

Normes de Schatten

La Modèle:Lien, due à Robert Schatten, est définie en A ∈ MModèle:Ind(K) par

$\Vert A{\Vert }_{{\sigma }_p}:=\Vert \sigma (A){\Vert }_p$,

où $\sigma (A)$ est le vecteur des valeurs singulières de $A$. Ces normes ont un lien avec les normes précédentes, puisque, quel que soit A ∈ MModèle:Ind(K), on aModèle:,

$\Vert A{\Vert }_F=\Vert A{\Vert }_{{\sigma }_2},\Vert A\Vert =\Vert A{\Vert }_{{\sigma }_{\mathrm{\infty }}},\Vert A{\Vert }_{*}=\Vert A{\Vert }_{{\sigma }_1}.$

On déduit du lien entre les normes matricielles et les normes vectorielles de $\sigma (A)$, et les inégalités sur ces normes, que pour tout A ∈ MModèle:Ind(K) :

$\Vert A\Vert ⩽\Vert A{\Vert }_F⩽\Vert A{\Vert }_{*}\le \mathrm{rg}(A{)}^{1/2}\Vert A{\Vert }_F⩽\mathrm{rg}(A)\Vert A\Vert ,$

où $\mathrm{rg}(A)$ désigne le rang de $A$.

Ces inégalités montrent que le rang est minoré par la norme nucléaire sur la boule unité $ℬ:=\{A\in {\mathrm{M}}_{m,n}(K)\mid \Vert A\Vert ⩽1\}$. Plus précisément, on peut montrer que la plus grande fonction convexe fermée qui minore le rang sur $ℬ$ est la restriction à cette boule de la norme nucléaire.

Lorsque K est le corps des réels, cela revient, en notant ${ℐ}_{ℬ}$ l'indicatrice de $ℬ$, à dire que la biconjuguée de la fonction $\mathrm{rg}+{ℐ}_{ℬ}:{\mathrm{M}}_{m,n}(ℝ)\to \overline{ℝ}$ est la fonction $\Vert \cdot {\Vert }_{*}+{ℐ}_{ℬ}$Modèle:,. Sans restriction du rang à un ensemble, on obtient ${\mathrm{rg}}^{**}=0$, une identité de peu d'utilité.

Propriétés

• L'espace MModèle:Ind(K), muni d'une norme sous-multiplicative (comme une norme d'opérateur ║∙║Modèle:Ind), est un exemple d'algèbre de Banach.
• Pour toute norme N sur MModèle:Ind(K), l'application bilinéaire (A, B) ↦ AB étant continue (on est en dimension finie), on est assuré de l'existence d'une constante k > 0 telle queModèle:RetraitPar suite, la norme kN est sous-multiplicative. Toute norme sur MModèle:Ind(K) est donc proportionnelle à une norme d'algèbre.