Constante de Lebesgue

En mathématiques, la constante de Lebesgue liée à un ensemble de points donne une idée de la qualité de l'interpolant d'une fonction aux points donnés par rapport à la meilleure approximation polynomiale de cette fonction à degré fixé. Elle est nommée d'après Henri Lebesgue.

Définition

Soient Modèle:Math, …, Modèle:Mvar des points d'un intervalle Modèle:Math contenant ces nœuds. Définir une interpolation polynomiale revient à projeter la fonction f sur un polynôme p. On obtient ainsi une fonction Modèle:Math de l'espace des fonctions continues Modèle:Math vers lui-même, en fait une projection sur le sous-espace Modèle:Mvar des polynômes de degré au plus Modèle:Mvar.

La constante de Lebesgue Modèle:Math est alors une norme d'opérateur de Modèle:Math. Il reste alors à définir une norme sur Modèle:Math, cependant, dans ce cadre, la norme infinie est la plus courante.

Propriétés

La constante de Lebesgue borne l'erreur d'interpolation :

$\Vert f-\mathrm{\Pi }(f)\Vert \le ({\mathrm{\Lambda }}_n(T)+1)\Vert f-P\Vert$

où Modèle:Math désigne la meilleure approximation polynomiale de Modèle:Mvar par un polynôme de Modèle:Mvar :

$\Vert f-P\Vert =\underset{\pi \in P_n}{\min }\Vert f-\pi \Vert$.

Les normes seront ici toutes considérées comme la norme infinie. On a :

$\Vert f-\mathrm{\Pi }(f)\Vert \le \Vert f-P\Vert +\Vert P-\mathrm{\Pi }(f)\Vert$,

par l'inégalité triangulaire. Or, Modèle:Math étant une projection sur Modèle:Mvar, il vient

$P-\mathrm{\Pi }(f)=\mathrm{\Pi }(P)-\mathrm{\Pi }(f)=\mathrm{\Pi }(P-f)$,

ce qui permet de conclure. Notons que cette relation vient aussi de l'application du lemme de Lebesgue.

Ainsi, l'interpolation polynomiale est plus mauvaise que la meilleure interpolation polynomiale possible au facteur Modèle:Math près. L'idée serait donc de trouver un ensemble de points ayant la plus faible valeur possible.

En utilisant la base des polynômes interpolateurs de Lagrange sur les points Modèle:Math :

$l_i(x):=\prod _{\begin{array}{c}j=0\\ j\ne i\end{array}}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$,

on pose la fonction de Lebesgue

${\lambda }_n(x)=\sum _{i=0}^n|l_i(x)|$,

qui permet d'exprimer la constante de Lebesgue liée aux nœuds par le maximum de cette fonction :

${\mathrm{\Lambda }}_n(T)=\underset{x\in [a,b]}{\max }{\lambda }_n(x)$.

Donner une expression explicite de cette constante reste cependant difficile.

Constantes de Lebesgue minimales

Dans le cas des nœuds équidistants, la constante de Lebesgue croît exponentiellement :

${\mathrm{\Lambda }}_n(T)\sim n\to \mathrm{\infty }\frac{2^{n+1}}{\mathrm{e}n\ln n}$.

Dans le cas des nœuds de Tchebychev, la croissance est logarithmique :

$\frac{2}{\pi }\ln (n+1)+a<{\mathrm{\Lambda }}_n(T)<\frac{2}{\pi }\ln (n+1)+1$,

avec Modèle:Math.

Si les nœuds de Tchebychev semblent un bon choix, il est possible d'améliorer la constante de Lebesgue par une transformation linéaire : en notant Modèle:Mvar le Modèle:Mvar-ème nœud de Tchebychev, on pose Modèle:Math. Pour ces nœuds :

${\mathrm{\Lambda }}_n(S)<\frac{2}{\pi }\ln (n+1)+0,7219\dots$.

Ces nœuds ne sont cependant pas optimaux (dans le sens où ils ne minimisent pas la constante de Lebesgue). Si l'on peut montrer qu'il existe un unique ensemble de nœuds donnant une constante optimale sous certains hypothèses, elle reste cependant à déterminer.

On se place dans le cas canonique de la recherche des Modèle:Math nœuds sur [–1, 1]. Si l'on impose d'avoir –1 et 1 parmi les nœuds, alors l'ensemble optimal est unique. En effet, considérons le cas Modèle:Math. Dans ce cas, tout ensemble de la forme Modèle:Math est optimal dès que Modèle:Math, mais si on cherche un ensemble de la forme Modèle:Math, la forme de la fonction de Lebesgue impose Modèle:Math.

H.-J. Rack a déterminé et explicité l'ensemble optimal avec –1 et 1 parmi les nœuds pour le cas Modèle:Math.

Les points de Padua donnent aussi un ensemble de nœuds à croissance lente (qui reste plus importante que celle des nœuds de Tchebyshev) avec la propriété supplémentaire d'être Modèle:Lien.

Sensibilité aux valeurs de l'interpolation

Les constantes de Lebesgue apparaissent dans un autre problème. Soit Modèle:Mvar un polynôme de degré Modèle:Mvar exprimé dans la base des polynômes de Lagrange associée aux points du vecteur Modèle:Mvar (Modèle:C.-à-d. le vecteur Modèle:Mvar de ses coefficients contient les valeurs Modèle:Math. Soit $\hat{p}(x)$ un polynôme dont on a légèrement modifié les coefficients Modèle:Mvar et Modèle:Mvar. On a alors l'estimation sur l'erreur relative :

$\frac{\Vert p-\hat{p}\Vert }{\Vert p\Vert }\le {\mathrm{\Lambda }}_n(T)\frac{\Vert u-\hat{u}\Vert }{\Vert u\Vert }$.

La constante de Lebesgue peut ainsi être vue comme un conditionnement de l'opérateur envoyant chaque coefficient du vecteur Modèle:Mvar vers l'ensemble des polynômes de coefficients Modèle:Mvar dans la base de Lagrange.

Voir aussi

Bibliographie

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