Théorème de Śleszyński-Pringsheim

Modèle:Ébauche En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de Śleszyński-Pringsheim donne des conditions de convergence de certaines fractions continues généralisées. Il fut découvert par Ivan Śleszyński^[1] puis par Alfred Pringsheim^[2]Modèle:,^[3] à la fin du dix-neuvième siècle^[4].

Énoncé

Soient aModèle:Ind et bModèle:Ind, pour n = 1, 2, 3…, des nombres complexes tels que |bModèle:Ind| ≥ |aModèle:Ind| + 1 pour tout n, et soient ƒModèle:Ind les réduites de la fraction continue généralisée

\frac{a_{1} ∣}{∣ b_{1}} + \frac{a_{2} ∣}{∣ b_{2}} + \frac{a_{3} ∣}{∣ b_{3}} + \dots .

La fraction converge absolument, c'est-à-dire que la série numérique suivante est absolument convergente :Modèle:Retrait
Les modules des réduites ƒModèle:Ind sont strictement inférieurs à 1^[5].
Le cas limite |ƒ| = 1 a lieu si et seulement si les trois conditions suivantes sont réunies :
- |bModèle:Ind| = |aModèle:Ind| + 1 pour tout n ;
- tous les aModèle:Ind/(bModèle:IndbModèle:Ind) sont des réels négatifs ;
- la série $\sum_{n} | a_{1} a_{2} \dots a_{n} |$ est divergente.
  Dans ce cas, la valeur de la fraction est $f = \frac{a_{1} | b_{1} |}{| a_{1} | b_{1}} .$

Corollaires

On peut déduire d'autres critères de convergence de celui de Śleszyński-Pringsheim, parmi lesquels^[6]Modèle:,^[7] :

Théorème de Worpitzky

Modèle:Voir Pour tous complexes aModèle:Ind, aModèle:Ind, aModèle:Ind… de modules inférieurs ou égaux à 1/4, la fraction continue généralisée

\frac{a_{1} ∣}{∣ 1} + \frac{a_{2} ∣}{∣ 1} + \frac{a_{3} ∣}{∣ 1} + \dots

converge, et ses réduites sont de modules strictement inférieurs à 1/2.

Ce théorème, publié en 1865 par Julius Worpitzky^[8]Modèle:,^[9], passe pour avoir été le premier critère de convergence concernant des fractions continues à coefficients complexes^[10].

C'est un cas particulier du théorème de Śleszyński-Pringsheim, d'après l'équivalence de fractions : Modèle:Retrait

Autre critère de Pringsheim

Pringsheim a formulé le corollaire suivant de « son » théorème^[11]Modèle:,^[12] :

Pour tous complexes bModèle:Ind, bModèle:Ind, bModèle:Ind… vérifiant, pour tout entier i > 0

\frac{1}{| b_{2 i - 1} |} + \frac{1}{| b_{2 i} |} \leq 1,

la fraction continue régulière^[13] suivante converge :

\frac{1 ∣}{∣ b_{1}} + \frac{1 ∣}{∣ b_{2}} + \frac{1 ∣}{∣ b_{3}} + \dots .

Ce critère est un cas particulier du théorème de Śleszyński-Pringsheim, d'après l'équivalence de fractions : Modèle:Retrait

Il s'applique par exemple si tous les bModèle:Ind sont de module au moins 2 (Modèle:Cf. § Exemples ci-dessous).

Théorème de convergence de Tietze

Le théorème de Śleszyński-Pringsheim est complété par certains critères classiques de convergence ou de divergence, parmi lesquels ce théorème de Tietze^[14]Modèle:,^[15]Modèle:,^[16] :

Soient aModèle:Ind et bModèle:Ind, pour n = 1, 2, 3…, des réels tels que pour tout indice n, bModèle:Ind ≥ |aModèle:Ind| > 0 et même, chaque fois que a_n+1 < 0, bModèle:Ind ≥ |aModèle:Ind| + 1.

Pour que la fraction associée $\frac{a_{1} ∣}{∣ b_{1}} + \frac{a_{2} ∣}{∣ b_{2}} + \frac{a_{3} ∣}{∣ b_{3}} + \dots .$ converge, il suffit que les aModèle:Ind soient négatifs à partir d'un certain rang^[17] ou que l'une des trois séries suivantes diverge : $\sum_{a_{n} > 0} \sqrt{a_{n}}, \sum_{a_{n + 1} > 0} \sqrt{b_{n} - | a_{n} |}, \sum_{a_{n + 1} < 0} \sqrt{b_{n} - | a_{n} | - 1} .$
Si la fraction converge, la limite ƒ des réduites vérifie : 0 < aModèle:Indƒ ≤ |aModèle:Ind|, et ne peut être égale à ±1 que si aModèle:Ind < 0 pour tout n > 1 et bModèle:Ind = |aModèle:Ind| + 1 pour tout n > 0.
Si les aModèle:Ind et bModèle:Ind sont entiers alors, sauf dans un cas exceptionnel, la fraction converge et la limite ƒ est irrationnelle^[18]. Le cas exceptionnel est celui où, à partir d'un certain rang, aModèle:Ind < 0 et Modèle:Nobr

Exemples

Fractions régulières de période 1

Modèle:Voir Pour un complexe z (non nul), une étude directe (Modèle:Cf. article détaillé) montre que la fraction

\frac{1 ∣}{∣ z} + \frac{1 ∣}{∣ z} + \frac{1 ∣}{∣ z} + \dots

converge si et seulement si z n'appartient pas à l'intervalle imaginaire pur Modèle:Math.

La convergence était prévisible pour z de module supérieur ou égal à 2 par le théorème ou le corollaire de Pringsheim^[19] (et pour z réel positif, par le théorème de Seidel-Stern).

Fractions « négativement régulières »

Définition

Pringsheim s'intéresse aux fractions qu'il qualifie de « négativement régulières ». Ce sont les fractions de la forme

b_{0} - \frac{1 ∣}{∣ b_{1}} - \frac{1 ∣}{∣ b_{2}} - \dots,

où les bModèle:Ind sont entiers et, pour n > 0, bModèle:Ind ≥ 2.

Il s'agit donc de la variante des fractions continues simples^[20] obtenue en remplaçant les signes « + » par des signes « – » et en interdisant la valeur 1 pour les bModèle:Ind (sauf pour bModèle:Ind).

Théorème de représentation

Les fractions « négativement régulières » convergent d'après le théorème de Śleszyński-Pringsheim, de même que les fractions simples convergent d'après le théorème de Seidel-Stern^[21]. De plus — de même que les fractions simples infinies sont en bijection avec les irrationnels — les fractions « négativement régulières » infinies sont en bijection avec tous les réels, par le théorème suivant^[22]Modèle:,^[23] : Modèle:Énoncé

Caractérisation des rationnels

Alors qu'avec les fractions simples, un rationnel se reconnaît à ce que son développement est fini, avec les fractions « négativement régulières », il se reconnaît au fait qu'à partir d'un certain rang, tous les bModèle:Ind sont égaux à 2^[22]Modèle:,^[23].

Algorithme

L'analogue de l'algorithme de développement en fraction simple, pour déterminer les dénominateurs partiels bModèle:Ind du développement en fraction négativement régulière d'un réel Modèle:Math, est le suivant^[22]Modèle:,^[23]. Pour tout réel t, notons ⌊t⌋ la partie entière de t et G(t) l'entier ⌊t⌋ + 1. On a donc 1/(G(t) – t) ≥ 1.

On définit alors par récurrence deux suites Modèle:Math et Modèle:Math par : Modèle:Retrait

Exemples de développements

Par exemple^[24] :

Développements de période 1 : $\forall n \in {2, 3, \dots} - \frac{1 ∣}{∣ n} - \frac{1 ∣}{∣ n} - \dots = \frac{- n + \sqrt{n^{2} - 4}}{2},$ en particulier :
- pour n = 2 : le développement de –1 est un cas limite du théorème de Śleszyński-Pringsheim ;
- pour n = 2m : $\forall m \in {1, 2, 3, \dots} \sqrt{m^{2} - 1} = m - \frac{1 ∣}{∣ 2 m} - \frac{1 ∣}{∣ 2 m} - \dots .$
Développements de période 2 : $\forall m, n \in {2, 3, \dots} - \frac{1 ∣}{∣ m} - \frac{1 ∣}{∣ n} - \frac{1 ∣}{∣ m} - \frac{1 ∣}{∣ n} - \dots = \frac{1}{2} (- n + \sqrt{\frac{n (m n - 4)}{m}}),$ en particulier (pour n = 2m) $\forall m \in {2, 3, \dots} \sqrt{m^{2} - 2} = m - \frac{1 ∣}{∣ m} - \frac{1 ∣}{∣ 2 m} - \frac{1 ∣}{∣ m} - \frac{1 ∣}{∣ 2 m} - \dots .$

Notes et références

Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références

Lien externe

Modèle:Lien web

Modèle:Portail

↑ Modèle:Article.
↑ Modèle:Article.
↑ Modèle:Article.
↑ Wolfgang Joseph Thron a découvert des indices montrant que Pringsheim était au courant des résultats de Śleszyński avant de publier son article ; comparer Modèle:Article et Modèle:MacTutor avec Modèle:Harvsp. D'ailleurs, selon Modèle:Ouvrage, Modèle:Citation. Voir plus généralement la critique, sur l'habitude qu'avait Pringsheim de ne pas créditer ses prédécesseurs, dans Modèle:Article.
↑ Modèle:Ouvrage.
↑ Modèle:Harvsp.
↑ Modèle:Ouvrage.
↑ Modèle:Article, Modèle:P..
↑ Modèle:Harvsp.
↑ Modèle:Harvsp.
↑ Modèle:Harvsp et Modèle:Ouvrage.
↑ Modèle:Harvsp.
↑ Une fraction continue $\frac{a_{1} ∣}{∣ b_{1}} + \frac{a_{2} ∣}{∣ b_{2}} + \dots$ est dite régulière si tous les aModèle:Ind sont égaux à 1.
↑ Modèle:Harvsp, le redémontre et confirme (p. 253) que ce critère est, comme l'écrit Tietze, une généralisation d'un résultat de Stolz (Vorlesungen über allgemeine Arithmetik, 1885), mais signale l'antériorité de Stern, Theorie der Kettenbrüche und ihre Andwendung, 1834.
↑ Modèle:Article.
↑ Modèle:Article.
↑ Modèle:Harvsp, attribue ce critère à Modèle:Harvsp.
↑ Ceci généralise un lemme de Lambert formalisé par Legendre : voir § « Résultat de Lambert » de l'article « Fraction continue et approximation diophantienne ».
↑ Modèle:Harvsp.
↑ Dans Modèle:Harvsp, les fractions régulières sont qualifiées de Modèle:Citation étrangère. Elles incluent les fractions simples, dites Modèle:Citation étrangère. Les fractions « négativement régulières » sont appelées Modèle:Citation étrangère. Il est facile de les convertir en fractions régulières dont les dénominateurs partiels sont de signes alternés.
↑ Modèle:Harvsp.
↑ ^22,0 ^22,1 et ^22,2 Modèle:Harvsp.
↑ ^23,0 ^23,1 et ^23,2 Modèle:Ouvrage.
↑ Modèle:Harvsp, donne les développements en fraction négativement régulière de 1 = 1 + Modèle:Sqrt, Modèle:Sqrt = Modèle:Sqrt, Modèle:Sqrt = Modèle:Sqrt et Modèle:Sqrt = Modèle:Sqrt.

[1] Modèle:Article.

[2] Modèle:Article.

[3] Modèle:Article.

[4] Wolfgang Joseph Thron a découvert des indices montrant que Pringsheim était au courant des résultats de Śleszyński avant de publier son article ; comparer Modèle:Article et Modèle:MacTutor avec Modèle:Harvsp. D'ailleurs, selon Modèle:Ouvrage, Modèle:Citation. Voir plus généralement la critique, sur l'habitude qu'avait Pringsheim de ne pas créditer ses prédécesseurs, dans Modèle:Article.

[5] Modèle:Ouvrage.

[6] Modèle:Harvsp.

[7] Modèle:Ouvrage.

[8] Modèle:Article, Modèle:P..

[9] Modèle:Harvsp.

[10] Modèle:Harvsp.

[11] Modèle:Harvsp et Modèle:Ouvrage.

[12] Modèle:Harvsp.

[reg-13] Une fraction continue $\frac{a_{1} ∣}{∣ b_{1}} + \frac{a_{2} ∣}{∣ b_{2}} + \dots$ est dite régulière si tous les aModèle:Ind sont égaux à 1.

[14] Modèle:Harvsp, le redémontre et confirme (p. 253) que ce critère est, comme l'écrit Tietze, une généralisation d'un résultat de Stolz (Vorlesungen über allgemeine Arithmetik, 1885), mais signale l'antériorité de Stern, Theorie der Kettenbrüche und ihre Andwendung, 1834.

[15] Modèle:Article.

[Tietze-16] Modèle:Article.

[17] Modèle:Harvsp, attribue ce critère à Modèle:Harvsp.

[18] Ceci généralise un lemme de Lambert formalisé par Legendre : voir § « Résultat de Lambert » de l'article « Fraction continue et approximation diophantienne ».

[19] Modèle:Harvsp.

[20] Dans Modèle:Harvsp, les fractions régulières sont qualifiées de Modèle:Citation étrangère. Elles incluent les fractions simples, dites Modèle:Citation étrangère. Les fractions « négativement régulières » sont appelées Modèle:Citation étrangère. Il est facile de les convertir en fractions régulières dont les dénominateurs partiels sont de signes alternés.

[21] Modèle:Harvsp.

[Prinsheim818-819-22] 22,0 ^22,1 et ^22,2 Modèle:Harvsp.

[Sierpinski-23] 23,0 ^23,1 et ^23,2 Modèle:Ouvrage.

[24] Modèle:Harvsp, donne les développements en fraction négativement régulière de 1 = 1 + Modèle:Sqrt, Modèle:Sqrt = Modèle:Sqrt, Modèle:Sqrt = Modèle:Sqrt et Modèle:Sqrt = Modèle:Sqrt.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

Théorème de Śleszyński-Pringsheim

Sommaire

Énoncé

Corollaires

Théorème de Worpitzky

Autre critère de Pringsheim

Théorème de convergence de Tietze

Exemples

Fractions régulières de période 1

Fractions « négativement régulières »

Définition

Théorème de représentation

Caractérisation des rationnels

Algorithme

Exemples de développements

Notes et références

Lien externe

Menu de navigation

Théorème de Śleszyński-Pringsheim

Énoncé

Corollaires

Théorème de Worpitzky

Autre critère de Pringsheim

Théorème de convergence de Tietze

Exemples

Fractions régulières de période 1

Fractions « négativement régulières »

Définition

Théorème de représentation

Caractérisation des rationnels

Algorithme

Exemples de développements

Notes et références

Lien externe

Menu de navigation

Rechercher