J (nombre complexe)
Modèle:À sourcer Modèle:Minuscule En mathématiques, on définit le nombre complexe j comme l'unique racine cubique de 1 dont la partie imaginaire est strictement positive.
Modèle:Retrait où Modèle:Math désigne l'exponentielle complexe.
Le nombre Modèle:Math ne doit pas être confondu avec l'unité imaginaire Modèle:Math qui est souvent notée Modèle:Math en physique (pour mieux la distinguer de l'intensité électrique dont le symbole est Modèle:Math).
Propriétés
Le nombre Modèle:Math possède certaines propriétés remarquables :
- comme toute racine de l'unité, son module vaut 1, autrement dit : son conjugué est égal à son inverse (donc à Modèle:Math) ;
- les racines cubiques de l'unité sont 1, Modèle:Math et Modèle:Math ; leur somme est nulle car Modèle:Math est racine du polynôme Modèle:Math ;
- dans le plan complexe, les trois points d'affixes 1, Modèle:Math et Modèle:Math forment un triangle équilatéral ;
- le calcul de Modèle:Math ramène par définition à Modèle:Math.
Application au calcul des racines cubiques
Modèle:Article détaillé Tout nombre complexe non nul possède exactement trois racines cubiques. Si Modèle:Mvar est l'une d'entre elles, alors les deux autres sont Modèle:Math et Modèle:Math.