Nombre multicomplexe (Segre)

En mathématiques, les nombres multicomplexes de symbole ${ℂ}_n$ (Modèle:Formule) constituent une famille d’algèbres hypercomplexes associatives et commutatives de dimension Modèle:Formule sur ℝ. Ils ont été introduits par Corrado Segre en 1892.

Définition

Par récurrence

Les algèbres multicomplexes ℂModèle:Ind se construisent par récurrence, en posant Modèle:Formule comme initialisation. En supposant l’algèbre Modèle:Formule déjà construite, on introduit une nouvelle unité imaginaire Modèle:Formule vérifiant Modèle:Formule et commutant avec les précédentes unités imaginaires Modèle:Formule : on définit alors Modèle:Formule.

Directe

Pour Modèle:Formule, Modèle:Formule et Modèle:Formule commutent avec tout nombre de ℂModèle:Ind, et Modèle:Formule (car Modèle:Formule). La relation Modèle:Formule peut donc se réécrire sous la forme du produit tensoriel d'algèbres Modèle:Formule. En outre, puisque Modèle:Formule, on a Modèle:Formule, d’où Modèle:Formule. ℝ étant l’élément neutre de ⊗Modèle:Ind, et donc son produit vide, on a donc :

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},{ℂ}_n=\underset{n\text{ facteurs}}{\underbrace{ℂ{\otimes }_{ℝ}ℂ{\otimes }_{ℝ}\cdots {\otimes }_{ℝ}ℂ}}={{⨂}^n}_{ℝ}ℂ.$

Propriétés algébriques

• Le nombre de composantes doublant à chaque rang Modèle:Formule et Modèle:Formule étant de dimension 1 sur ℝ, ℂModèle:Ind est de dimension Modèle:Formule sur ℝ.
• Chaque ℂModèle:Ind est une algèbre de Banach.
• Pour Modèle:Formule, par commutativité de l’algèbre, ℂModèle:Ind possède des diviseurs de zéro :
  • pour Modèle:Formule, on a Modèle:Formule, Modèle:Formule et Modèle:Formule ;
  • pour Modèle:Formule, on a Modèle:Formule, Modèle:Formule et Modèle:Formule.

Isomorphisme avec les nombres multicomplexes de Fleury

• Modèle:Formule.

Sous-algèbres

• Pour Modèle:Formule, ℂModèle:Ind, …, ℂModèle:Ind sont des sous-algèbres de ℂModèle:Ind.
• Pour Modèle:Formule, ℂModèle:Ind est de dimension Modèle:Formule sur ℂModèle:Ind.
• Pour Modèle:Formule, chaque unité Modèle:Formule vérifie Modèle:Formule, donc ℂModèle:Ind contient Modèle:Formule copies du plan complexe.
• Pour Modèle:Formule et Modèle:Formule, chaque nombre Modèle:Formule vérifie Modèle:Formule, donc ℂModèle:Ind contient Modèle:Formule copies du plan des complexes déployés.

Cas particuliers

Les cas Modèle:Formule ont des noms consacrés :

• ℂModèle:Ind : nombre réel (ℝ) ;
• ℂModèle:Ind : nombre complexe (ℂ) ;
• ℂModèle:Ind : nombre bicomplexe ;
• ℂModèle:Ind : nombre tricomplexe.

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:It Corrado Segre, The real representation of complex elements and hyperalgebraic entities, Mathematische Annalen, 1892, 40:413–467.
• Modèle:En Griffith Baley Price, An Introduction to Multicomplex Spaces and Functions, Marcel Dekker, New York, 1991.