Voisinage tubulaire

Les perpendiculaires (en vert) à la courbe plane lisse (en bleu) contiennent de petits intervalles ouverts (en rouge), centrés sur la courbe et deux à deux disjoints.

La réunion de ces intervalles est un voisinage tubulaire de la courbe dans le plan euclidien.

En géométrie différentielle, un voisinage tubulaire d'une sous-variété S d'une variété différentielle M est un ouvert de M, qui contient S et « ressemble à » son fibré normal.

Définition

Soient S ⊂ M deux variétés différentielles. Un voisinage tubulaire de S dans M est constitué d'un fibré vectoriel E → S et d'un difféomorphisme de E sur un ouvert U de M, par lequel tout point s de S est l'image du vecteur nul de EModèle:Ind.

Par abus de langage, cet ouvert U, ipso facto voisinage de S et fibré sur S, est aussi appelé un voisinage tubulaire de S.

Existence

Dans le cas où la variété ambiante M est un espace euclidien RModèle:Exp, on trouve un tel voisinage en choisissant, dans le fibré normal à S, un ouvert V autour de la section nulle, suffisamment petit pour que la restriction à V de l'application Modèle:Nobr soit un plongement.

Modèle:Démonstration/début Supposons S ⊂ M = RModèle:Exp et notons f l'application NS → RModèle:Exp, (s, v) ↦ s + v. En tout point (s, 0) de la section nulle de NS, la différentielle de f est l'identité de TModèle:IndS⊕NModèle:IndS = RModèle:Exp, donc f est un difféomorphisme au voisinage de ce point, c'est-à-dire qu'il existe un réel δ > 0 tel que f soit un difféomorphisme de

$V_{\delta }(s):=\{(t,v)\in NS\mid \Vert t-s\Vert <\delta \mathrm{e}\mathrm{t}\Vert v\Vert <\delta \}$

sur son image. Notons alors εModèle:Ind la borne supérieure de ces « bons rayons δ pour s », et supposons que tous les εModèle:Ind sont finis (sinon, V = NS convient et la preuve est terminée).

Pour tous points s et sModèle:' de S, puisque (pour tout δ > 0)

$V_{\delta }(s)\subset V_{\delta +\Vert s^{\prime }-s\Vert }(s^{\prime }),$

on a

$\mathrm{\forall }\delta >0(\delta +\Vert s^{\prime }-s\Vert <{\epsilon }_{s^{\prime }}\Rightarrow \delta \le {\epsilon }_s),$

c'est-à-dire

${\epsilon }_{s^{\prime }}\le {\epsilon }_s+\Vert s^{\prime }-s\Vert .$

La fonction s ↦ εModèle:Ind est donc continue (et même 1-lipschitienne), si bien que l'ensemble

$V:=\{(s,v)\in NS\mid \Vert v\Vert <{\epsilon }_s/2\}$

est un ouvert de NS (qui contient la section nulle).

La restriction de f à V est un difféomorphisme local, et il reste à vérifier qu'elle est injective. Si (s, v) et (sModèle:', vModèle:') appartiennent à V et ont même image par f alors, en supposant par exemple εModèle:Ind ≤ εModèle:Ind puis en choisissant δ strictement compris entre ║v║ + ║vModèle:'║ et εModèle:Ind, on déduit de

$\Vert s^{\prime }-s\Vert =\Vert v-v^{\prime }\Vert \mathrm{e}\mathrm{t}\max (\Vert v\Vert ,\Vert v^{\prime }\Vert ,\Vert v-v^{\prime }\Vert )\le \Vert v\Vert +\Vert v^{\prime }\Vert <\delta$

que (s, v) et (sModèle:', vModèle:') appartiennent tous deux à VModèle:Ind(s), sur lequel f est injective. Ils sont donc égaux, ce qui conclut. Modèle:Démonstration/fin

Le cas d'une variété M quelconque se déduit du cas précédent, en supposant sans perte de généralité que M est connexe, puis en la plongeant dans un espace euclidien et, pour un voisinage tubulaire r : U → M de M dans cet espace, en prenant comme voisinage de S l'ensemble des r(s + v), pour tous les (s, v) de NS tels que s + v appartient à U.

Unicité

Le voisinage tubulaire de S dans M est unique à isotopie près, c'est-à-dire que si UModèle:Ind et UModèle:Ind sont deux tels voisinages, alors il existe un plongement de Modèle:Nobr dans Modèle:Nobr de la forme Modèle:Nobr tel que FModèle:Ind = idModèle:Ind, chaque FModèle:Ind fixe S, et FModèle:Ind soit un isomorphisme de fibrés de UModèle:Ind → S dans UModèle:Ind → S.

Voir aussi

Articles connexes

• Chirurgie des variétés
• Dualité de Poincaré
• Espace de Thom

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage, ou Modèle:P. de ce .pdf de 2006
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Spivak1, vol. 1, Modèle:2e éd., Modèle:P. ou Modèle:3e éd. Modèle:P.