Théorème de Fenchel-Moreau

Illustration d'une fonction qui n'est pas semi-continue inférieure. D'après le théorème de Fenchel-Moreau, cette fonction n'est pas égale à sa biconjuguée.

En analyse convexe, le théorème de Fenchel–Moreau (nommé d'après Werner Fenchel et Jean-Jacques Moreau) ou théorème de biconjugation de Fenchel (ou juste théorème de biconjugation) est un théorème qui donne des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction soit égale à sa biconjuguée. Ce résultat est à mettre en contraste avec l’inégalité vModèle:,. Ce théorème peut être vu comme une généralisation du théorème bipolaire. Il est utilisé pour prouver la Modèle:Lien (à l'aide de fonction de perturbation).

Énoncé du théorème

Soit $(X,\tau )$ un espace de Hausdorff localement convexe, pour toute fonction $f:X\to ℝ\cup \{\pm \mathrm{\infty }\}$ à valeur dans la droite réelle achevée, on a $f=f^{**}$ si et seulement si l'une des conditions suivantes est vraie

1. $f$ est une fonction semi-continue inférieure convexe propre,
2. $f\equiv +\mathrm{\infty }$, ou
3. $f\equiv -\mathrm{\infty }$Modèle:,Modèle:,.