Théorème bipolaire

En mathématiques, le théorème bipolaire est un théorème d'analyse convexe qui fournit les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un cône soit égal à son cône bipolaire. Le théorème bipolaire peut être vu comme un cas particulier du théorème de Fenchel-Moreau.

Énoncé du théorème

Pour tout ensemble non vide $C\subset X$ d'un espace vectoriel $X$, le cône bipolaire $C^{\circ \circ }=(C^{\circ }{)}^{\circ }$ est donné par

$C^{\circ \circ }=\mathrm{cl}(\mathrm{co}\{\lambda c:\lambda \ge 0,c\in C\})$

où $\mathrm{co}$ désigne l'enveloppe convexeModèle:,

Cas particulier

$C\subset X$ est un cône convexe non vide et fermé si et seulement si $C^{++}=C^{\circ \circ }=C$, où  $C^{++}=(C^{+}{)}^{+}$, et $(\cdot {)}^{+}$ désigne le cône dual positifModèle:,.

Plus généralement, si $C$ est un cône convexe non vide alors le cône bipolaire est donné par

$C^{\circ \circ }=\mathrm{cl}C.$

Lien avec le théorème de Fenchel-Moreau 

Si $f(x)=\delta (x|C)=\{\begin{array}{cc}0& \text{si }x\in C\\ +\mathrm{\infty }& \text{sinon}\end{array}$ est la fonction indicatrice d'un cône $C$. Alors la fonction convexe conjuguée $f^{*}(x^{*})=\delta (x^{*}|C^o)={\delta }^{*}(x^{*}|C)=\underset{x\in C}{\sup }⟨x^{*},x⟩$ est la fonction d'appui de $C$, et $f^{**}(x)=\delta (x|C^{oo})$. Donc $C=C^{oo}$ si et seulement si $f=f^{**}$Modèle:,.

Le théorème de Fenchel-Moreau peut être vu comme une généralisation du théorème bipolaire.