Opérateur de Volterra

En mathématiques, dans le domaine de l'analyse fonctionnelle, lModèle:'opérateur de Volterra, nommé d'après Vito Volterra, n'est autre que l'opération de l'intégration indéfinie, vue comme un opérateur linéaire borné sur l'espace $L^2([0,1])$ des fonctions de $[0,1]$ à valeurs dans $ℂ$ et de carré sommable. C'est l'opérateur correspondant aux équations intégrales de Volterra.

Définition

L'opérateur de Volterra $V$ peut être défini pour une fonction $f\in L^2([0,1])$ et un nombre $t\in [0,1]$ par:

$$V(f)(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(s)\mathrm{d}s.$$

Propriétés

• $V$ est un opérateur linéaire borné entre espaces de Hilbert, avec un opérateur adjoint hermitien:$$V^{*}:f\mapsto [t\mapsto \underset{t}{\overset{1}{\int }}f(s)\mathrm{d}s].$$

• $V$ est un opérateur compact (c'est même un Modèle:Lien car c'est un opérateur intégral dont le noyau est de carré intégrable).

• $V$ n'a pas de valeurs propres et par conséquent, d'après la théorie spectrale des opérateurs compacts, son spectre $0\in \sigma (V)$.

• $V$ est un opérateur quasi-nilpotent (c'est-à-dire que le rayon spectral $\rho (V)$ est nul), mais il n'est pas nilpotent.
• La norme de $V$ est exactement $\Vert V\Vert =\frac{2}{\pi }$.

Cas des fonctions continues

On peut de la même manière définir l'opérateur de Volterra sur l'espace ${𝒞}^0([0,1])$ des fonctions continues sur $[0,1]$ muni de la norme $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$:

$$V:f\mapsto [x\mapsto \underset{0}{\overset{x}{\int }}f].$$

De même que dans le cas $L^2([0,1])$ ci-dessus, $V$ n'a pas de valeur propre et $\sigma (V)=\{0\}$.