Propriété de la moyenne

Modèle:Ébauche En analyse mathématique, la propriété de la moyenne caractérise les fonctions harmoniques.

Théorème

• Soient $u$ une fonction harmonique sur un ouvert $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ et $\overline{B(x,R)}$ une boule fermée incluse dans cet ouvert. Alors, la valeur de $u$ au centre $x$ de cette boule est égale à la valeur moyenne de $u$ à sa surface. Cette valeur $u(x)$ est donc aussi égale à la valeur moyenne de $u$ à l'intérieur de la boule. Autrement dit :$u(x)=\frac{1}{n{\omega }_n{r}^{n-1}}\underset{\partial B(x,r)}{\int }ud\sigma =\frac{1}{{\omega }_n{r}^n}\underset{B(x,r)}{\int }udV$,où ${\omega }_n$ désigne le volume de la boule unité de dimension $n$ et $\sigma$ la mesure de surface sur la $n-1$-sphère bordant $B(x,R)$.
• Réciproquement, une fonction $u$ continue sur $\mathrm{\Omega }$ est harmonique dès qu'elle vérifie la propriété de la moyenne, c'est-à-dire dès que :

$\mathrm{\forall }\overline{B(x,R)}\subset \mathrm{\Omega }u(x)=\frac{1}{n{\omega }_n{r}^{n-1}}\underset{\partial B(x,r)}{\int }ud\sigma$.