Suite du traiteur paresseux

Crêpe découpé en sept morceaux avec trois coupes droites.

La suite du traiteur paresseux, en anglais the lazy caterer's sequence, est une suite donnant le nombre maximum de morceaux d'un disque (une crêpe ou une pizza est généralement utilisée pour décrire la situation) qui peut être obtenu avec un certain nombre de coupes droites. Par exemple, trois coupes à travers une crêpe produiront six morceaux si les traits de coupe se rencontrent en un même point intérieur au disque, mais jusqu'à sept dans le cas contraire.

Les nombres obtenus sont appelés des nombres pizza ou des nombres tarte.

La généralisation de cette suite en dimension trois est la suite des nombres gâteaux.

Formules

Le nombre maximal $u_n$ de morceaux qui peuvent être obtenus avec un nombre $n⩾0$ de coupes est donné par la formule :

$u_n=\frac{n(n+1)}{2}+1=\frac{n^2+n+2}{2}.$

Animation montrant le nombre de régions découpées pour n allant jusqu'à 6

Chaque terme est donc égal à un nombre triangulaire plus 1.

Cette suite (Modèle:OEIS), en commençant à $n=0$, donne les nombres suivants

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, ...

À l'aide des coefficients binomiaux, la formule s'écrit aussi

$u_n=1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}).$

$u_n$ est donc égal à $B_{n,2}$, coefficient de la colonne d'indice 2 du triangle de Bernoulli.

Démonstration

Lorsqu'il y a $n-1$ découpes, une nouvelle droite rencontre chacune des $n-1$ droites en un point au maximum, coupe donc $n$ anciennes régions en deux au maximum ; elle crée donc au maximum $n$ nouvelle régions. On en déduit $u_n=u_{n-1}+n=\cdots =u_0+1+\cdots +n=1+\frac{n(n+1)}{2}$.

Notes et références

• Modèle:Article.
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Voir aussi

Articles connexes

• Nombre polygonal centré

Liens externes

• Modèle:MathWorld