Enveloppe de Snell

Modèle:Voir homonymes L'enveloppe de Snell, utilisée en calcul stochastique et en mathématiques financières, est la plus petite sur-martingale majorant un processus stochastique. Le nom de l'enveloppe de Snell provient du mathématicien Modèle:Lien.

Définition

Étant donné un espace probabilisé filtré $(\mathrm{\Omega },ℱ,({ℱ}_t{)}_{t\in [0,T]},\mathbb{P})$ et une mesure de probabilité absolument continue $\mathbb{Q}\ll \mathbb{P}$ alors un processus adapté $U=(U_t{)}_{t\in [0,T]}$ est l'enveloppe de Snell (sous la mesure $\mathbb{Q}$) du processus $X=(X_t{)}_{t\in [0,T]}$ si

1. $U$ est une $\mathbb{Q}$-sur-martingale
2. $U$ majore $X$, Modèle:C.-à-d. $U_t\ge X_t$ $\mathbb{Q}$-presque sûrement pour tout $t\in [0,T]$
3. Si $V=(V_t{)}_{t\in [0,T]}$ est une $\mathbb{Q}$-sur-martingale qui majore $X$, alors $V$ majore $U$.

Construction en temps discret

Étant donné $(\mathrm{\Omega },ℱ,({ℱ}_n{)}_{n=0}^N,\mathbb{P})$ et $\mathbb{Q}$ comme ci-dessus, l'enveloppe de Snell $(U_n{)}_{n=0}^N$ (sous la mesure $\mathbb{Q}$) du processus $(X_n{)}_{n=0}^N$ est donnée par l'algorithme descendant récursif

$U_N:=X_N,$

$U_n:=X_n\vee {𝔼}^{\mathbb{Q}}[U_{n+1}\mid {ℱ}_n]$ pour $n=N-1,\dots ,0$

où $\vee$ est le max.