Équation de Whitham

En physique mathématique l'équation de Whitham est une équation générale décrivant une onde de gravité dispersive non-linéaire de surfaceModèle:,. Elle a été établie par Gerald Whitham en 1967.

Formulation

Elle s'écrit de la manière suivante :$$\frac{\partial }{\partial t}s(x,t)+\alpha s(x,t)\frac{\partial }{\partial x}s(x,t)+\underset{ℝ}{\int }K(x-\xi )\frac{\partial }{\partial \xi }s(\xi ,t)\mathrm{d}\xi =0.$$C'est une équation intégro-différentielle de la variable $s(x,t)$ donnant l'altitude de la surface dans un référentiel quelconque. Le noyau $K(x-\xi )$ est spécifique du problème traité.

Ondes de gravité sur une surface

• Pour les ondes de surface telles que l'onde de Stokes de nombre d'onde $k$ on a$c(k)=\sqrt{\frac{g}{k}\tanh (kh)}$ et $\alpha =\frac{3}{2}\sqrt{\frac{g}{h}}$ où $c(\cdot )$ est la vitesse de phase, $g$ la gravité et $h$ la profondeur du milieu au repos. Ainsi, $K(\omega )=ℱ\{c(x)\}(\omega )$, soit la transformée de Fourier de $c$⁣ ;

• On obtient l'équation de Korteweg-de Vries à partir du développement de $c(k)$ pour des ondes de grande longueur rapportée à l'amplitude $kh\ll 1$, soit $c(k)=\sqrt{gh}(1-\frac{1}{6}{k}^2{h}^2)$, $K(x)=\sqrt{gh}(\delta (x)+\frac{1}{6}{h}^2{\delta }^{\prime \prime }(x))$ où $\delta (\cdot )$ est la fonction de Dirac et $\alpha =\frac{3}{2}\sqrt{\frac{g}{h}}$.

• Bengt Fornberg et Gerald Whitham ont étudié le noyau $K(\cdot )$ adimentionné par $g$ et $h$ avec $c(k)=\frac{{\nu }^2}{{\nu }^2+k^2}$, $K(x)=\frac{\nu }{2}{\mathrm{e}}^{-\nu x}$ et $\alpha =\frac{3}{2}$. La relation intégro-différentielle qui en résulte peut être réduite à l'équation aux dérivées partielles appelée équation de Fornberg–Whitham, soit $$(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}-{\nu }^2)(\frac{\partial }{\partial t}s(x,t)+\frac{3}{2}s(x,t)\frac{\partial }{\partial x}s(x,t))+\frac{\partial }{\partial x}s(x,t)=0.$$Certaines solutions exhibent des discontinuités de la dérivée première (en anglais peakon) et d'ondes de choc (déferlement), ces dernières étant absentes des solutions de l'équation de Korteweg-de VriesModèle:,.

Voir aussi

• Onde cnoïdale
• Équations de Boussinesq
• Équations de Barré de Saint-Venant