Série hypergéométrique basique

En mathématiques, les séries hypergéométriques basiques de Heine, ou q-séries hypergéométriques, sont des généralisations q-analogues des séries hypergéométriques généralisées, à leur tour étendues par les séries hypergéométriques elliptiques. Une série Modèle:Mvar est appelée hypergéométrique si le rapport de deux termes successifs Modèle:Math est une fraction rationnelle de Modèle:Mvar. Si le rapport de deux termes successifs est une fraction rationnelle en Modèle:Mvar, alors la série est dite hypergéométrique basique, et le nombre Modèle:Mvar est appelé base.

La série hypergéométriques basique Modèle:Math a d'abord été introduite par Modèle:Harvsp. On retrouve la série hypergéométrique Modèle:Math à la limite si la base q vaut 1.

Définition

Il existe deux formes de séries hypergéométriques basiques, les séries hypergéométriques basiques unilatérales Modèle:Mvar, et les plus générales, les séries hypergéométriques basiques bilatérales Modèle:Mvar.

Les séries hypergéométriques basiques unilatérales sont définies par

${}_j{\varphi }_k[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \dots & a_j\\ b_1& b_2& \dots & b_k\end{array};q,z]=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a_1,a_2,\dots ,a_j;q{)}_n}{(b_1,b_2,\dots ,b_k,q;q{)}_n}{((-1{)}^n{q}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})})}^{1+k-j}{z}^n$

avec

$(a_1,a_2,\dots ,a_m;q{)}_n=(a_1;q{)}_n(a_2;q{)}_n\dots (a_m;q{)}_n$

et

$(a;q{)}_n=\prod _{k=0}^{n-1}(1-a{q}^k)=(1-a)(1-aq)(1-a{q}^2)\cdots (1-a{q}^{n-1})$

est le q-symbole de Pochhammer.

Le cas spécial le plus important correspond à Modèle:Math, où on obtient

${}_{k+1}{\varphi }_k[\begin{array}{ccccc}{a}_1& a_2& \dots & a_k& a_{k+1}\\ b_1& b_2& \dots & b_k\end{array};q,z]=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a_1,a_2,\dots ,a_{k+1};q{)}_n}{(b_1,b_2,\dots ,b_k,q;q{)}_n}{z}^n.$

Cette série est dite balancée si Modèle:Math. Elle est dite bien équilibrée si Modèle:Math, et très bien équilibrée si on a en plus Modèle:Math.

La série hypergéométrique basique unilatérale est une q-analogue de la série hypergéométrique dans le sens où elle vérifie Modèle:Harv

$\underset{q\to 1}{\lim }{}_j{\varphi }_k[\begin{array}{cccc}{q}^{a_1}& q^{a_2}& \dots & q^{a_j}\\ q^{b_1}& q^{b_2}& \dots & q^{b_k}\end{array};q,(q-1{)}^{1+k-j}z]={}_j{F}_k[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \dots & a_j\\ b_1& b_2& \dots & b_k\end{array};z].$

Les séries hypergéométriques basiques bilatérales, correspondant aux séries hypergéométriques bilatérales, sont définies par

${}_j{\psi }_k[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \dots & a_j\\ b_1& b_2& \dots & b_k\end{array};q,z]=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a_1,a_2,\dots ,a_j;q{)}_n}{(b_1,b_2,\dots ,b_k;q{)}_n}{((-1{)}^n{q}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})})}^{k-j}{z}^n.$

Le cas spécial le plus important correspond à Modèle:Math, où elle devient

${}_k{\psi }_k[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \dots & a_k\\ b_1& b_2& \dots & b_k\end{array};q,z]=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a_1,a_2,\dots ,a_k;q{)}_n}{(b_1,b_2,\dots ,b_k;q{)}_n}{z}^n.$

Les séries unilatérales peuvent être obtenues comme un cas particulier des bilatérales en fixant une des variables Modèle:Mvar égales à Modèle:Mvar, au moins quand aucune des variables Modèle:Mvar est une puissance de Modèle:Mvar, car alors tous les termes correspondant à Modèle:Math s'annulent dans ce cas.

Cas simples

Parmi les cas les plus simples, on trouve

$\frac{z}{1-q}{}_2{\varphi }_1[\begin{array}{c}qq\\ q^2\end{array};q,z]=\frac{z}{1-q}+\frac{z^2}{1-q^2}+\frac{z^3}{1-q^3}+\dots$

et

$\frac{z}{1-q^{1/2}}{}_2{\varphi }_1[\begin{array}{c}q{q}^{1/2}\\ q^{3/2}\end{array};q,z]=\frac{z}{1-q^{1/2}}+\frac{z^2}{1-q^{3/2}}+\frac{z^3}{1-q^{5/2}}+\dots$

et

${}_2{\varphi }_1[\begin{array}{c}q-1\\ -q\end{array};q,z]=1+\frac{2z}{1+q}+\frac{2z^2}{1+q^2}+\frac{2z^3}{1+q^3}+\dots .$

Le théorème q-binomial

Le théorème q-binomial (publié pour la première fois en 1811 par Heinrich August RotheModèle:, établit que

${}_1{\varphi }_0(a;q,z)=\frac{(az;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(z;q{)}_{\mathrm{\infty }}}=\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1-a{q}^{n}z}{1-q^{n}z}$

qui s'obtient en appliquant à plusieurs reprises l'identité

${}_1{\varphi }_0(a;q,z)=\frac{1-az}{1-z}{}_1{\varphi }_0(a;q,qz).$

Le cas spécial Modèle:Math est liée à la q-exponentielle.

Théorème binomial de Cauchy

Le théorème binomial de Cauchy est un cas spécial du théorème q-binomial.

$\sum _{n=0}^N{y}^n{q}^{n(n+1)/2}{\left[\begin{array}{c}N\\ n\end{array}\right]}_q=\prod _{k=1}^N(1+y{q}^k)(\text{pour}|q|<1)$

avec ${\left[\begin{array}{c}N\\ n\end{array}\right]}_q$ le coefficient q-binomial :

${\left[\begin{array}{c}N\\ n\end{array}\right]}_q=\frac{(q{)}_N}{(q{)}_n(q{)}_{N-n}}=\prod _{i=0}^{n-1}\frac{1-q^{N-n}}{1-q^{n+1}}.$

Identité de Ramanujan

Srinivasa Ramanujan a posé l’identité

${}_1{\psi }_1[\begin{array}{c}a\\ b\end{array};q,z]=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a;q{)}_n}{(b;q{)}_n}{z}^n=\frac{(b/a,q,q/az,az;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(b,b/az,q/a,z;q{)}_{\mathrm{\infty }}}$

vraie pour tout Modèle:Math et Modèle:Math. Des identités similaires pour Modèle:IndψModèle:Ind ont été données par Bailey. De telles identités peuvent être vues comme des généralisations du théorème de triple produit de Jacobi, qui peuvent être écrites par des q-séries par

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{q}^{n(n+1)/2}{z}^n=(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}(-1/z;q{)}_{\mathrm{\infty }}(-zq;q{)}_{\mathrm{\infty }}.$

Ken Ono donne une série entière liée :

$A(z;q)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\frac{1}{1+z}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(z;q{)}_n}{(-zq;q{)}_n}{z}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{z}^{2n}{q}^{n^2}.$

Intégrale de contour de Watson

Comme analogue de l'Modèle:Lien pour la série hypergéométrique, Watson a montré que

${}_2{\varphi }_1(a,b;c;q,z)=\frac{-1}{2\pi \mathrm{i}}\frac{(a,b;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(q,c;q{)}_{\mathrm{\infty }}}\underset{-\mathrm{i}\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{i}\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{(q{q}^s,c{q}^s;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(a{q}^s,b{q}^s;q{)}_{\mathrm{\infty }}}\frac{\pi }{\sin (\pi s)}(-z{)}^s\mathrm{d}s$

où les pôles de Modèle:Math sont sur la gauche du contour et les pôles restants sur la droite. Il existe une intégrale de contour similaire pour Modèle:Math.

Cette intégrale de contour donne un prolongement analytique continu de la fonction hypergéométrique basique en Modèle:Mvar.

Voir aussi

• Identité de Dixon
• Identités de Rogers-Ramanujan

Liens externes

• Modèle:MathWorld

Références

• W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge.
• William Y. C. Chen and Amy Fu, Semi-Finite Forms of Bilateral Basic Hypergeometric Series (2004)
• Gwynneth H. Coogan et Ken Ono, A q-series identity and the Arithmetic of Hurwitz Zeta Functions, (2003) Proceedings of the American Mathematical Society 131, pp. 719–724
• Sylvie Corteel et Jeremy Lovejoy, Frobenius Partitions and the Combinatorics of Ramanujan's ${}_1{\psi }_1$ Summation
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Article
• Victor Kac, Pokman Cheung, Quantum calculus, Universitext, Springer-Verlag, 2002. Modèle:ISBN
• Modèle:Article
• Andrews, G. E., Askey, R. et Roy, R. (1999). Special Functions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, volume 71, Cambridge University Press.
• Eduard Heine, Theorie der Kugelfunctionen, (1878) 1, pp 97–125.
• Eduard Heine, Handbuch die Kugelfunctionen. Theorie und Anwendung (1898) Springer, Berlin.