Lituus (courbe)

Branche positive d'un lituus

En géométrie, un lituus est une courbe plane d'équation polaire : Modèle:Retrait Le nom de «lituus» lui est donné par Roger Cotes dans son Harmonia mensurarumModèle:Sfn publié en 1722 en référence à la crosse étrusque de même nom. Cette courbe avait déjà été étudiée par Pierre Varignon en 1704 dans le cadre de son étude générale des spirales d'équation polaire ${\rho }^m\theta =a^{m+1}$ pour m entier positif ou négatifModèle:Sfn.

Propriétés géométriques

Le lituus est une courbe transcendante qui possède pour asymptotes son axe polaire et son pôleModèle:Sfn. Il possède deux branches (pour ρ positif et pour ρ négatif) symétriques par rapport à O.

Fichier:Lituus constant area.webm Pour tout point M situé sur la courbe, on appelle m le point d'intersection du cercle de centre O passant par M avec l'axe polaire. L'aire du secteur angulaire mOM est constant égale à Modèle:MathModèle:Sfn.

Pour tout point M de la courbe, on appelle T le point d'intersection de la tangente avec la droite passant par O et perpendiculaire à (OM) alors la longueur OT est égale à 2a²/OM. Le lituus est donc une courbe dans laquelle la sous-tangente est inversement proportionnelle au rayon. L'aire du triangle OTM est constante égale au double de l'aire du secteur angulaire mOMModèle:Sfn.

L'aire balayée par le rayon OM de MModèle:Ind à MModèle:Ind est proportionnelle au logarithme du rapport des rayonsModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn: Modèle:Retrait

Le rayon de courbure, pour une courbe paramétrée θ, a pour valeurModèle:Sfn: Modèle:Retrait et pour une courbe paramétrée par ρ, s'exprime parModèle:Sfn: Modèle:Retrait La courbe possède donc un point d'inflexion pour un rayon égal à Modèle:Math et un angle de Modèle:Math.

Son abscisse curviligne est donnée parModèle:Sfn: Modèle:Retrait et la rectification de la courbe fait intervenir des intégrales elliptiques de deuxième espèceModèle:Sfn.

Relation avec d'autres courbes

Le lituus est l'image par une inversion, de pôle O et de cercle de rayon Modèle:Mvar, de la spirale de FermatModèle:Sfn d'équation polaire Modèle:Math.

C'est également la radiale de la clothoïdeModèle:Sfn.

Si on fait rouler le lituus sur l'hyperbole d'équation Modèle:Math, son centre se déplace sur l'axe des abscisses. Cette propriété avait déjà été remarquée par Pierre Varignon en 1704Modèle:Sfn.

Lituus d'équation ρ²θ=1 roulant sur l'hyperbole d'équation Modèle:Math dont le centre reste sur l'axe des abscisses.

Bibliographie

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