Spirale de Fermat

Les deux branches de la spirale de Fermat d'équation ρ² = θ (noire pour ρ positif et rouge pour ρ négatif)

Une spirale de Fermat est une courbe plane d'équation polaire: Modèle:Retrait Son nom est une référence au mathématicien Pierre de Fermat qui la décrit dans une lettre à Marin Mersenne en 1636 et présente sa propriété d'aire balayée par un rayon. Cette courbe a aussi été étudiée par Pierre VarignonModèle:Sfn en 1704 dans le cadre de son étude générale des spirales d'équation polaire $c{\rho }^m=\theta b{a}^{m-1}$.

Propriétés géométriques

Les deux composantes connexes du plan découpé par la spirale de Fermat

La spirale de Fermat est une courbe transcendante qui possède deux branches (pour ρ positif et pour ρ négatif) symétriques par rapport à O. Elle partage le plan en deux composantes connexesModèle:Sfn.

Pour tout point M de la courbe, on appelle T et N les points d'intersection de la tangente et la normale à la courbe en M avec la droite passant par O et perpendiculaire à (OM). Les longueurs OT et ON (sous-tangente et sous-normale) valent alorsModèle:Sfn: Modèle:Retrait L'aire du triangle OMN est donc constante égale au quart du carré de côté a.

L'aire balayée par le rayon OM de MModèle:Ind à MModèle:Ind est donnée par la formuleModèle:Sfn: Modèle:Retrait

Aire balayée par un rayon : l'aire en noir est égale à la moitié de l'aire du disque, les aires blanche, bleue et jaune sont toutes trois égales à celle du disque.

En particulier, si l'on prend pour θModèle:Ind la valeur Modèle:Math, la surface balayée par le rayon de MModèle:Ind à MModèle:Ind correspond à la moitié de l'aire du disque de rayon OMModèle:Ind, les autres spires ont des aires identiques égales à l'aire du disque de rayon OMModèle:IndModèle:Sfn. C'est la propriété énoncée par Fermat en 1636.

Le rayon de courbure s'exprime parModèle:Sfn: Modèle:Retrait La courbe possède donc un seul point d'inflexion à l'origine.

Son abscisse curviligne est donnée parModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn: Modèle:Retrait et la rectification de la courbe fait intervenir une intégrale elliptique de première espèceModèle:Sfn.

Relation avec d'autres courbes

La spirale de Fermat est l'image par une inversion, de pôle O et de cercle de rayon a, du lituusModèle:Sfn d'équation polaire Modèle:Nobr.

Si on fait rouler la spirale de Fermat d'équation Modèle:Nobr sur la courbe d'équation $x=-\frac{2}{3a^2}{y}^3$, son centre se déplace sur l'axe des abscissesModèle:Sfn. Cette propriété avait déjà été remarquée par Pierre Varignon en 1704Modèle:Sfn.

Spirale de Fermat d'équation Modèle:Nobr roulant sur la courbe Modèle:Nobr et dont le centre reste sur l'axe des x.

Modélisation

Les 150 premiers points du modèle de Vogel

La spirale de Fermat peut servir à modéliser l’implantation des fleurs du tournesol : Helmut Vogel en 1979 a remarqué que les points de coordonnées polaires Modèle:Retrait simulait assez fidèlement la fleur de tournesol. Or ces points sont situés sur la spirale de Fermat d'équation $c^2{\phi }^2\theta =2\pi {\rho }^2$ où φ est le nombre d'or et l'angle $2\pi \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ est l'angle d'or. Cette modélisation reste cependant une simplification d'une phyllotaxie plus complexe.

D'autresModèle:, l'ont utilisée pour modéliser le taijitu du Yin et Yang en limitant la courbe d'équation Modèle:Nobr au cercle de rayon 1.

Bibliographie

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