Équation de Fermat généralisée

En arithmétique, l'équation de Fermat généralisée est l'équation

$A{x}^p+B{y}^q+C{z}^r=0$

où

$A,B,C\in {\mathbb{Z}}_{\ne 0}$

sont des entiers non nuls,

$x,y,z$

sont des entiers non nuls premiers entre eux et

$p,q,r\ge 2$

sont entiers.

Comme son nom le laisse transparaître, cette équation généralise l'équation $x^n+y^n=z^n$ dont le fameux dernier théorème de Fermat établit l'impossibilité quand $n\ge 3$. À l'instar de celui-ci avant sa résolution, son principal intérêt réside aujourd'hui dans la stimulation du développement des nouveaux outils mathématiques nécessaires à son appréhension. Parmi ces outils, se trouvent les courbes de Frey, les formes modulaires et les représentations de Galois. À ce titre, le sujet des équations de Fermat généralisées profite fortement des ponts jetés entre arithmétique et théorie des représentations par le programme de Langlands. Certaines approches cyclotomiques ont aussi été avancées, mais aucune ne semble suffisamment puissante.

L'équation de Fermat généralisée se réfère parfois à la seule équation $A{x}^n+B{y}^n+C{z}^n=0$ ou à la seule équation $x^p+y^q=z^r$. Cette dernière est la plus étudiée et au moins deux conjectures non résolues s'y rapportent : la conjecture de Fermat-Catalan et la conjecture de Beal.

Définitions

On appelle $(p,q,r)$ la signature et $\chi =\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}$ la caractéristique de l'équation $A{x}^p+B{y}^q+C{z}^r=0$. On distingue plusieurs grands cas selon la caractéristique, nommés par analogie avec la classification des espaces selon leur courbure :

• $\chi >1$, le cas sphérique. $(p,q,r)$ est à permutation près $(2,2,n),n\ge 2$ ou $(2,3,3),(2,3,4),(2,3,5)$.
• $\chi =1$, le cas euclidien (ou parabolique). $(p,q,r)$ est à permutation près $(3,3,3)$, $(2,4,4)$ ou $(2,3,6)$.
• $\chi <1$, le cas hyperbolique.

De par le nombre relativement faible de valeurs de $(p,q,r)$ les concernant, les cas sphérique et euclidien sont aujourd'hui bien compris. Le cas hyperbolique est donc celui qui fait l'objet du plus de recherches.

Conjectures

Conjecture de Fermat-Catalan

La conjecture de Fermat-Catalan ou conjecture de Fermat généralisée s'énonceModèle:ÉnoncéIl est nécessaire de demander une infinité de valeurs pour $(x^p,y^q,z^r)$ et non une infinité de valeurs pour $(x,y,z,p,q,r)$ car $1^p+2^3=3^2$ fournit cette infinité sans être toutefois intéressant.

Dix solutions à cette équation sont connues de nos jours. Voir Cas hyperbolique.

Henri Darmon offrira $300(\frac{1}{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}}-1)$ dollars canadiens à quiconque trouvera une nouvelle solution à $x^p+y^q=z^r$.

Conjecture de Beal

La conjecture de Beal s'énonceModèle:Énoncé

Autrement dit, la conjecture de Beal est vraie si et seulement si toutes les solutions de l'équation de Fermat généralisée avec $(A,B,C)=(1,1,-1)$ utilisent au moins une fois $2$ comme exposant.

Elle porte le nom d'Andrew Beal, banquier millionnaire américain et mathématicien amateur, qui la formula en 1993 dans un but de généralisation du dernier théorème de Fermat. Il l'a dotée en 1997 d'un prix monétaire en échange d'une preuve ou d'un contre-exemple. Le prix, qui s'élève aujourd'hui à 1 million de dollars, est détenu par la Société Américaine de Mathématiques.

Elle est parfois aussi appelée conjecture de Tijdeman et Zagier car eux aussi l'ont formulée en 1994. Si Andrew Beal l'a vraisemblablement formulée indépendamment, des questions très proches étaient déjà discutées par les chercheurs du domaine si bien que son origine exacte reste incertaine. Certains auteurs la font remonter à des discussions d'Andrew Granville datant de 1985.

Relations avec d'autres conjectures

La conjecture de Beal implique le dernier théorème de Fermat. En effet, à toute solution $(x,y,z)$ de $x^n+y^n=z^n$correspond une solution $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ respectant $\mathrm{p}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })=1$. Elle s'obtient en divisant $x,y,z$ par leur plus grand facteur commun.

La conjecture abc implique la conjecture de Fermat-Catalan et implique la conjecture de Beal à un nombre fini d'exceptions près.

Remarques générales

Quand $n$ apparait comme exposant, il peut être toujours remplacé par $kn$ pour tout $k$ entier naturel puisqu'une puissance $kn$-ième est aussi une puissance $n$-ième. Cela permet souvent de ne traiter que les cas $n\text{ premier}$ et $n=4$.

Si $|A|=|B|=|C|=1$, la condition $\mathrm{p}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(x,y,z)=1$ équivaut à la condition $\mathrm{p}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(x,y)=1\text{ ou }\mathrm{p}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(y,z)=1\text{ ou }\mathrm{p}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(z,x)=1$ car tout entier divisant facteur de deux termes parmi $x,y,z$ divise aussi le troisième.

Si $(A,B,C)=(1,1,-1)$, alors

• $p$ et $q$ jouent des rôles symétriques et peuvent donc être échangés.
• Si $q$ est impair, alors résoudre l'équation de signature $(p,q,r)$ équivaut à résoudre celle de signature $(r,q,p)$ en remplaçant $y$ par $-y$.
• Ensemble, ces deux remarques font que, si au moins deux entiers parmi $p,q,r$ sont impairs, l'équation de signature $(p,q,r)$ équivaut à toutes celles dont la signature est une permutation de $(p,q,r)$.

La condition $xyz\ne 0$ est là pour éviter qu'un terme de l'équation ne disparaisse. Dans le cas où il n'y a que deux termes, l'équation est très facile à résoudre.

La condition $\mathrm{p}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(x,y,z)=1$ s'explique par le fait qu'on peut obtenir facilement d'au moins deux manières une infinité de solutions inintéressantesModèle:, :

• si $p,q,r$ sont premiers entre eux, alors il existe par le théorème des restes chinois $({\lambda }_a,{\lambda }_b,{\lambda }_c)$ tels que $\{\begin{array}{c}p\mid {\lambda }_a+1,{\lambda }_b,{\lambda }_c\\ q\mid {\lambda }_a,{\lambda }_b+1,{\lambda }_c\\ r\mid {\lambda }_a,{\lambda }_b,{\lambda }_c+1\end{array}$ de sorte qu'à tous $a,b,c$ tels que $Aa+Bb+Cc=0$ on puisse associer une solution de l'équation de Fermat généralisée $(x,y,z)=(a^{\frac{{\lambda }_a+1}{p}}{b}^{\frac{{\lambda }_b}{p}}{c}^{\frac{{\lambda }_c}{p}},a^{\frac{{\lambda }_a}{q}}{b}^{\frac{{\lambda }_b+1}{q}}{c}^{\frac{{\lambda }_c}{q}},a^{\frac{{\lambda }_a}{r}}{b}^{\frac{{\lambda }_b}{r}}{c}^{\frac{{\lambda }_c+1}{r}})$ (qui s'obtient en multipliant les deux membres de l'égalité $Aa+Bb+Cc=0$ par $a^{{\lambda }_a}{b}^{{\lambda }_b}{c}^{{\lambda }_c}$).
• À toute solution $(x_0,y_0,z_0)$ correspond une infinité de solutions $(x_n,y_n,z_n)$ définies par $(x_{n+1},y_{n+1},z_{n+1})=(x_n^{qr+1}{y}_n^{qr}{z}_n^{qr},x_n^{rp}{y}_n^{rp+1}{z}_n^{rp},x_n^{pq}{y}_n^{pq}{z}_n^{pq+1})$.

Les tableaux de résultat sur cette page ne consignent que les solutions primitives non triviales. Lorsque l'exposant est pair, les différents signes sont omis. On utilisera la notation $\{p,q,r\}$ pour signifier que toutes les permutations de $(p,q,r)$ sont considérées.

Cas sphérique

Frits Beukers a démontré que, à $(p,q,r)$ fixé, soit il n'y a aucune solution, soit il y en a une infinité.

Si $(A,B,C)=(1,1,-1)$, on dispose d'un nombre fini de paramétrisations polynomiales à coefficients entiers à deux variables générant toutes les solutions :

$(p,q,r)=$	sous-cas	date	auteurs	notes ($u,v$ sont des entiers non nuls premiers entre eux)
$(2,2,n)$	$n=2$			Les solutions sont les triplets pythagoriciens : $(x,y,z)=(u^2-v^2,2uv,u^2+v^2)$
	$n$ quelconque			Une paramétrisation : $(x,y,z)=(\Re 𝔢(u+\mathrm{i}v{)}^n,\Im 𝔪(u+\mathrm{i}v{)}^n,u^2+v^2)$. Voir Théorème des deux carrés de Fermat
$(2,n,2)$				C'est un cas facile à résoudre
$\{2,3,3\}$			Louis Mordell
$(2,3,4)$			Don Zagier
$(2,4,3)$				4 paramétrisations polynomiales
$\{2,3,5\}$		2004	Johnny Edwards	27 paramétrisations polynomiales

Cas euclidien

Si $(A,B,C)=(1,1,-1)$, on a les résultats suivants

$(p,q,r)=$	sous-cas	date	auteurs	notes
$\{2,3,6\}$		2014	Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani	Une solution, $1^6+2^3=3^2$
$\{2,4,4\}$	$(2,4,4)$	~1640	Pierre de Fermat	Aucune solution. Voir Théorème de Fermat sur les triangles rectangles
	$(4,4,2)$	1738	Leonhard Euler
$(3,3,3)$		1760		Aucune solution. Découle du dernier théorème de Fermat

Cas hyperbolique

Le théorème de Darmon-Granville assure qu'il n'y a qu'un nombre fini de solutions à l'équation à $(p,q,r)$ fixé si $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}<1$.

Alain Kraus donne des bornes supérieures explicites (dépendant de $A,B,C$) sur les nombres premiers $n$ tels que l'équation $A{x}^n+B{y}^n+C{z}^n=0$ a des solutions primitives non triviales.

Dong Quan Ngoc Nguyen a montré en 2012, en utilisant l'Modèle:Lien, que, pour tout $n\ge 2$, il existe une infinité de courbes de Fermat généralisées de signature $(12n,12n,12n)$ violant le principe de Hasse ; c'est-à-dire qu'il existe une infinité de triplets $(A,B,C)$ tels que l'équation $A{x}^{12n}+B{y}^{12n}+C{z}^{12n}=0$ a des solutions dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ pour tout nombre premier $p$ mais aucune solution dans $\mathbb{Z}$.

Cas (A, B, C) = (1, 1, -1)

Résultats partiels quand min(p, q, r) = 2

Quand $(p,q,r)=(2,3,n)\text{ ou }(3,n,2)$, l'équation admet toujours la solution dite de Catalan $1^n+2^3=3^2$. Celle-ci est systématiquement omise dans le tableau ci-dessous.

Cas traités quand $\min (p,q,r)=2$

$(p,q,r)=$	sous-cas	date	auteurs	notes
$\{2,3,n\}$	$n=7$	2005	Bjorn Poonen, Edward Schaefer, Michael Stoll	4 solutions non-Catalan $15312283^2+9262^3=113^7$ $2213459^2+1414^3=65^7$ $17^3+2^7=71^2$ $76271^3+17^7=21063928^2$
	$n=9$	2003	Nils Bruin	Une solution non-Catalan, $13^2+7^3=2^9$
	$n=11$	2017	Nuno Freitas, Bartosz Naskręcki, Michael StollModèle:Note	Aucune solution non-Catalan
	$n=13$			Partiellement résolu
	$n=15$	2013	Samir Siksek, Michael Stoll	Aucune solution non-Catalan
	$3\mid n,\frac{n}{3}\equiv 1mod8\text{ premier}$	2013	Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani
$(2,3,8)$		2003	Nils Bruin	Une solution non-Catalan, $96222^3+43^8=30042907^2$
$(2,3,10)$		2009	David Brown	Aucune solution
$(2,4,n),n\ge 5$	$5\le n<211\text{ premier}$	2008	Michael Bennett, Jordan Ellenberg, Nathan C. Ng	2 solutions, $7^2+2^5=3^4$ et $11^4+3^5=122^2$
	$n\ge 211\text{ premier}$	2003	Jordan Ellenberg	Aucune solution
	$n=5,6$ voir ci-dessous		Nils Bruin
$\{2,4,5\}$		2003	Nils Bruin
$\{2,4,6\}$		1997	Nils Bruin
$(2,6,n),n\ge 3$		2011	Michael Bennett, Imin Chen	Aucune solution
$(2,2n,3),3\le n\le 10^7$	$n=3$ voir ci-dessus
	$n=4$			Une solution, $1549034^2+33^8=15613^3$
	$n=31$	2011	Sander Dahmen	Aucune solution
	$n\equiv -1mod6$
	$n\ge 8\text{ pair},\frac{n}{2}\equiv \pm 2mod5\text{ ou }\frac{n}{2}\equiv \pm 2,\pm 4mod13$	2014	Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani
	$11\le n<10^7\text{ premier},n\ne 31$	2007	Imin Chen	Aucune solution. Il suffit que $n$ respecte une condition simple, vérifiée numériquement pour les petites valeurs
$(2,2n,5)$	$n\ge 29\text{ premier},n\equiv 1mod4$	2010	Imin Chen	Aucune solution
$(2,2n,9),n\ge 2$		2014	Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani
$(2,2n,10),n\ge 2$
$(2,2n,15)$
$(2,n,6),n\ge 3$
$(4,2n,3),n\ge 2$
$(6,n,2),n\ge 3$				Aucune solution non-Catalan
$(n,n,2),n\ge 5$	$n=6$		Leonhard Euler	Aucune solution
	$n=5,9$	1998	Bjorn Poonen
	$n\ge 7\text{ premier}$	1995	Henri Darmon, Loïc Merel

Résultats partiels quand p, q, r ≥ 3

$x=1$ ou $y=1$ est impossible en vertu de la conjecture de Catalan, démontrée par Preda Mihăilescu en 2002. $z=1$ est impossible pour des raisons similaires. Les résultats partiels suivants sont pertinents pour l'établissement de la conjecture de Beal. Si elle est vraie, il n'y a aucune solution non triviale quand $p,q,r\ge 3$. L'inexistence de solutions n'est donc pas rappelée à chaque ligne.

Cas traités quand $p,q,r\ge 3$

$(p,q,r)=$	sous-cas	date	auteurs	notes
$(n,n,n),n\ge 4$	$n=5$	1825	Dirichlet
		1994	Andrew Wiles	C'est le dernier théorème de Fermat
$(n,n,3),n\ge 4$	$n=4$	1873	Édouard LucasModèle:,Modèle:Note
	$n=5$	1998	Bjorn Poonen
	$n\ge 7$	1995	Henri Darmon, Loïc Merel
$\{3,3,n\},4\le n<10^9$	$n=4,5$	2000	Nils Bruin
	$n=7,11,13$			Partiellement résolu
	$17\le n<10^4\text{ premier}$	1998	Alain Kraus	Il suffit que $n$ respecte une condition simple, vérifiée numériquement pour les petites valeurs
	$10^4<n<10^9\text{ premier}$	2008	Imin Chen, Samir Siksek	Amélioration de la condition de Kraus et vérification numérique
	$n\text{ premier},n\equiv 2mod3$	2016	Nuno Freitas
	$n\ge 4\text{ pair}$	2014	Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani
	d'autres conditions de modulo
$(4,2n,3),n\ge 2$
$(3,6,n),n\ge 3$
$\{3,4,5\}$		2011	Samir Siksek, Michael Stoll
$(4,4,n)$ voir sous-cas	$n\ge 17\text{ premier},n\equiv ̸-1mod8$	2003	Luis Dieulefait
$(4,n,4)$ voir sous-cas	$n\ge 11\text{ premier},n\equiv 1mod4$	1993	Henri Darmon
	$n\ge 11\text{ premier},z\text{ pair}$
$\{5,5,n\}$ voir sous-cas	$n=3$	1998	Bjorn Poonen
	$n\ge 7\text{ premier},z\text{ pair}$	2007	Nicolas BillereyModèle:,
	$n=7$	2013	Sander Dahmen, Samir Siksek
	$n=19$
	$n=11$			Preuve conditionnelle supposant l'hypothèse de Riemann généralisée
	$n=13$
$\{7,7,11\}$
$\{5,7,7\}$
$(2l,2m,n)$ voir sous-cas	$n=3,l\ge 2,m\equiv 3mod4$	2014	Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani
	$n=5,l=m\ge 2$	2006	Michael Bennett
	$n\in \{3,5,7,11\},l,m\ge 5\text{ premiers}$	2015	Samuele Anni, Samir Siksek
	$n=13,l,m\ge 5\text{ premiers},l,m\ne 7$
	$n=13,l,m\ge 5\text{ premiers}$	2018	Nicolas Billerey, Imin Chen, Lassina Dembélé, Luis Dieulefait, Nuno Freitas
$(3l,3m,n),l,m\ge 2,n\ge 3$		1998	Alain Kraus	Kraus prouve que $a^3+b^3=z^n⟹v_2(ab)=1$. En prenant, $(a,b,c)=(x^l,y^m,z)$, on a le résultat

Recherche numérique

Peter Norvig, directeur de recherche chez Google, a annoncé avoir numériquement éliminé toutes les solutions éventuelles avec $p,q,r\le 7$ et $x,y,z\le 250000$ ainsi que $p,q,r\le 100$ et $x,y,z\le 10000$.

Cas général

Le cas $A,B,C$ $3$-smooth a été étudié par Lucas dans beaucoup de cas particuliers.

équation	sous-cas	date	auteurs	notes
$x^2+y^2=2z^2$		1877	Édouard Lucas	Une infinité de solutions. Voir Cas sphérique.
$x^2+2y^2=3z^2$
$x^2+3y^6=z^n$	$n\ge 3$	2018	Angelos Koutsianas	Une solution, $47^2+3\cdot 2^6=7^4$
$x^3+y^5=15^6{z}^7$		2008	Sander Dahmen	Aucune solution
$16x^2+3y^3=z^5$
$16x^2+9y^3=z^5$
$A{x}^3+B{y}^3=C{z}^3$	beaucoup de cas particuliers différents	1951	Ernst Selmer
$A{x}^2+y^4=z^n$	$24x^4+y^4=z^4$	2016	Gustav Söderlund	Preuve élémentaire, aucune solution
	$A=2,n=3$			Preuve élémentaire, une solution, $2\cdot 5^4+3^4=11^3$
	$A=2,n\ge 4$	2008	Michael Bennett, Jordan Ellenberg, Nathan C. Ng	Aucune solution
	$A=3,n\ge 137\text{ premier}$	2006	Luis Dieulefait, Jorge Jiménez Urroz
$x^2+3y^6=z^n$	$n\ge 3$	2018	Angelos Koutsianas	Une solution, $47^2+3\cdot 2^6=7^4$
$x^4+B{y}^n=z^4$	$B=2^{\alpha },n\ge 5\text{ premier},\alpha \ge 1$	2006	Andrzej Dąbrowski	Aucune solution
	$B=2^{\alpha }{q}^{\beta },n>{(\sqrt{8q+8}+1)}^{2q-2}\text{ premier},q\text{ pas de la forme }{2}^m\pm 1\text{ premier},\beta \ge 1$
$x^r+y^r=C{z}^p$	$r\ge 5,p\ge 3$	2002	Alain Kraus	Il n'existe qu'un nombre fini de $C$ donnant des solutions
$x^4+y^4=C{z}^n$	$C\in \{73,89,113\},n\ge 17\text{ premier}$	2005	Luis Dieulefait	Aucune solution
$x^5+y^5=C{z}^n$	$n\ge 7\text{ premier},C=2^{\alpha }\cdot 5^{\beta },2\le \alpha \le 4,0\le \beta \le 4$	2007	Nicolas Billerey	Aucune solution
	quelques autres cas particuliers quand $C$ est $5$-smooth
	$n\ge 17\text{ premier},n\equiv 1mod4\text{ ou }n\equiv \pm 1mod5,C=2\gamma ,\mathrm{\forall }q\equiv 1mod5\text{ premier},q\nmid \gamma$	2011	Luis Dieulefait, Nuno FreitasModèle:Note
	$n\ge 89\text{ premier},n\equiv 1mod4\text{ ou }n\equiv \pm 1mod5,C=3\gamma ,\mathrm{\forall }q\equiv 1mod5\text{ premier},q\nmid \gamma$
	$C\in \{1,2\},n\text{ premier},\mathrm{p}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(c,10n)>1$	2017	Nicolas Billerey, Imin Chen, Luis Dieulefait, Nuno Freitas	Une solution, $1^5+1^5=2\cdot 1^n$
	$C=3,n\ge 2$			Aucune solution
$x^7+y^7=C{z}^n$	$n>(3^{18}+1{)}^2\text{ premier}$	2012	Nuno Freitas	Aucune solution
$x^{14}+y^{14}=C{z}^n$	$n\ge 17\text{ premier},C=2^{{\alpha }_2}{3}^{{\alpha }_3}{5}^{{\alpha }_5}\gamma ,{\alpha }_2\ge 1\text{ ou }{\alpha }_3\ge 1\text{ ou }{\alpha }_5\ge 2,7\nmid \gamma ,\mathrm{\forall }q\equiv 1mod7\text{ premier},q\nmid \gamma$			Aucune solution
$x^{13}+y^{13}=C{z}^n$	$C=3,n\ge 2$	2018	Nicolas Billerey, Imin Chen, Lassina Dembélé, Luis Dieulefait, Nuno Freitas	Aucune solution
	$n\text{ premier},n\notin \{2,3,5,7,11,13,19,23,29,71\},C=d\gamma ,d\in \{3,5,7,11\},13\nmid z,\mathrm{\forall }q\equiv 1mod13\text{ premier},q\nmid \gamma$	2013	Nuno Freitas, Samir Siksek	Aucune solution
$x^{26}+y^{26}=C{z}^n$	$n\text{ premier},n\notin \{2,3,5,7,11,13,19,23,29,71\},C=10\gamma ,\mathrm{\forall }q\equiv 1mod13\text{ premier},q\nmid \gamma$
$x^n+2^{\alpha }{y}^n=C{z}^2$	$n\ge 7\text{ premier},C=1,2\le \alpha \le p-2$	2000	Wilfrid Ivorra	2 solutions, $1^n+2^3\cdot 1^n=3^2$, $2^n+2^{n-3}\cdot 1^n={(3\cdot 2^{\frac{n-3}{2}})}^2$
	$n\ge 5\text{ premier},C=2,\alpha \le p-1$			Une solution, $1^n+2^0\cdot 1^n=2\cdot 1^n$
	$n\ge 7\text{ premier},n\ge C,\alpha \ge {\alpha }_0,(C,{\alpha }_0)\in \{(1,2),(3,2),(5,6),(7,4),(13,2),(15,6),(17,6)\}$	2002	Michael Bennett, Chris M. Skinner	Aucune solution
	$n\ge 11\text{ premier},\alpha \ge 2,(\alpha ,n)\ne (3,13)$
$x^n+y^n=C{z}^2$	$C\in \{1,2,3,5,6,10,11,13\},n\ge 4$			3 solutions, $1^2+1^2=2\cdot 1^2$, $3^5+(-1{)}^5=2\cdot 11^2$, $3^5+2^5=11\cdot 5^2$
	$C=17,n\ge 5$			Aucune solution
	$C=2^{\alpha }M,n>M^{132M^2}\text{ premier},\alpha \ge 1,M\text{ quadratfrei },3\nmid M,7\nmid M$	2009	Andrzej Dąbrowski
$x^n+y^n=p^{\alpha }{z}^3$	$n,p\text{ premiers},n>p^{4p^2}$	2000	Michael Bennett, Vinayak Vatsal, Soroosh Yazdani	Aucune solution
$x^n+p^{\alpha }{y}^n=3^{\beta }{z}^3$	$n,p\text{ premiers},\beta =0,p\ne 5\text{ pas de la forme }{s}^3\pm 3^t,t\ne 1$
	$n,p\text{ premiers},n>p^{2p},\beta =0,p\text{ pas de la forme }{s}^3\pm 3^t,t\ne 1$
	$n,p\text{ premiers},\alpha ,\beta \ge 1,p\ne 5\text{ pas des formes }3s^2\pm 1,9s^2\pm 1$
$x^n+L^{\alpha }{y}^n+z^n=0$	$L\in \{3,5,7,11,13,17,19,23,29,53,59\},\alpha \ge 1,n\ge 11\text{ premier},n\ne L$	1996	Alain Kraus	Aucune solution
	$L=2,3\le n\le 29\text{ premier}$		Pierre Dénes	Une solution, $1^n+2\cdot (-1{)}^n+1^n=0$
	$L=2,n\ge 17\text{ premier},n\equiv 1mod4$	1995	Kenneth Ribet
	$L=2,n\equiv 3mod4\text{ premier}$			Partiellement résolu
$A{x}^n+B{y}^n=C{z}^n$	$A,B,C\text{ impairs et premiers entre eux}$	2002	Emmanuel Halberstadt, Alain Kraus	Il existe un ensemble de nombres premiers $P$ de densité strictement positive tel qu'il n'y a aucune solution pour tout $n\in P$.

Généralisations

La conjecture de Beal est fausse si on l'étend aux entiers de Gauss. Après qu'un prix de Modèle:Unité ait été mis en jeu pour une preuve ou un contre-exemple, Fred W. Helenius proposa $(-2+i{)}^3+(-2-i{)}^3=(1+i{)}^4$.

Le dernier théorème de Fermat tient toujours dans certains anneaux. On dit que le dernier théorème de Fermat asymptotique est vrai dans le corps $K$ (ou dans son anneau des entiers ${𝒪}_K$, c'est équivalent) si Modèle:ÉnoncéCi-dessous, deux solutions $(x,y,z),(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ sont dites équivalentes s'il existe $\lambda \in K$ tel que $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })=(\lambda x,\lambda y,\lambda z)$ :

équation	corps $K$	sous-cas	date	auteurs	résultats/notes
$x^n+y^n+z^n=0$	$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$	$d>0$	2013	Nuno Freitas, Samir Siksek	FLT asymptotique établi pour un ensemble de $d$ de densité $\frac{5}{6}$ parmi les entiers quadratfrei. (améliorable à une densité de $1$ en supposant une généralisation de la conjecture d'Eichler-Shimura)
		$d<0,d\equiv 2,3mod4$	2016	Mehmet Şengün, Samir Siksek	FLT asymptotique établi en supposant une variante de la conjecture de modularité de Serre (voir Programme de Langlands)
		$n=3$		Paulo Ribenboim	S'il existe une solution non triviale, il en existe une infinité (non équivalentes entre elles)
				Alexander Aigner	Toute solution est équivalente à une solution de la forme $(a+b\sqrt{d}{)}^3+(a-b\sqrt{d}{)}^3=c^3$
				Alexander Aigner, Fueter	Il y a des solutions non triviales dans $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ si et seulement si il y en a dans $\mathbb{Q}(\sqrt{-3d})$
	$\mathbb{Q}(\sqrt{3})$		2003	Frazer Jarvis, Paul Meekin	Aucune solution
	$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$				Il existe une infinité de solutions générées par la solution $(18+17\sqrt{2}{)}^3+(18-17\sqrt{2}{)}^3=42^3$
		$n\ge 4$			Aucune solution
	$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$				Pour tout $n$ entier non divisible par $3$, $2^n+(-1+\sqrt{-3}{)}^n+(-1-\sqrt{-3}{)}^n=0$(cela correspond à ${\omega }^2+\omega +1=0$ où $\omega$ est racine primitive troisième de l'unité)
$x^n+y^n=z^n$	$\mathbb{Q}(\mathrm{i})$	$n=5,7,11$	1978	Benedict Gross, David Rohrlich	Aucune solution
	$\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$
	$\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$
	$\mathbb{Q}(\mathrm{i})$	$n=13$	2004	Pavlos Tzermias
	$\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$
	$\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$
	$\mathbb{Q}(\mathrm{i})$	$n=17$	1982	Fred Hao, Charles Parry
	$\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$
	$\mathbb{Q}(\mathrm{i})$	$n=3\text{ ou }n\ge 19\text{ premier}$	2017	George Ţurcaş	Aucune solution en supposant une variante de la conjecture de modularité de Serre (voir Programme de Langlands)
	$\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$	$n\ge 19\text{ premier}$
	$\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$	$n\ge 17\text{ premier}$
	$\mathbb{Q}(\sqrt{17})$	$n\ge 5\text{ premier},n\equiv 3,5mod8,$	2015	Nuno Freitas, Samir Siksek	Aucune solution
	$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$	$3\le d\le 23,d\ne 5,17\text{ et quadratfrei},n\ge 4$
		$d<0,n=4,6,9$	1934	Alexander AignerModèle:,	Aucune solution sauf si $(n,d)=(4,-7)$ : $(1+\sqrt{-7}{)}^4+(1-\sqrt{-7}{)}^4=2^4$
$x^n+y^n+q^r{z}^n=0$		$d\ge 13\text{ quadratfrei},q\ge 29\text{ premier},\left(\frac{d}{q}\right)=-1,d\equiv q\equiv 5mod8$	2015	Heline Deconinck	$B_K$ existe en supposant que $K$ respecte la conjecture d'Eichler-Shimura

Notons aussi les généralisations à des exposants algébriques fournies par John Zuehlke par des preuves très simples n'utilisant que le théorème de Gelfond-SchneiderModèle:, :Modèle:Énoncéet le corollaireModèle:Énoncé

Voir aussi

Articles connexes

• Dernier théorème de Fermat
• Conjecture abc
• Programme de Langlands
• Conjecture d'Euler
• Nombre taxicab
• Calcul distribué