Trigonométrie du tétraèdre

En géométrie, la trigonométrie du tétraèdre est l'ensemble des relations existant entre les longueurs des arêtes et les divers angles d'un tétraèdre (quelconque).

Quantités trigonométriques

Définitions et notations

Soit $X=\overline{P_1{P}_2{P}_3{P}_4}$ un tétraèdre quelconque, où $P_1,P_2,P_3$ et $P_4$ sont des points arbitraires (mais non coplanaires) de l'espace à trois dimensions. Les quantités trigonométriques associés sont les longueurs des six arêtes et les aires des quatre faces, les douze angles des quatre faces, les six angles dièdres entre les faces, et les quatre angles solides aux sommets. Plus précisément, si on note $e_{ij}$ l'arête joignant $P_i$ et $P_j$, et $F_i$ la face opposée à $P_i$ (et donc $F_i=\overline{P_j{P}_k{P}_l}$), avec $i,j,k,l\in \{1,2,3,4\}$ et $i\ne j\ne k\ne l$, on pose

• $d_{ij}$ = la longueur de l'arête $e_{ij}$ ;
• ${\alpha }_{i,j}$ = l'angle au sommet $P_i$ sur la face $F_j$ (autrement dit, l'angle $\widehat{P_i{P}_k,P_i{P}_l}$) ;
• ${\theta }_{ij}$ = l'angle dièdre entre les deux faces adjacentes à l'arête $e_{ij}$ ;
• ${\mathrm{\Omega }}_i$ = l'angle solide au sommet $P_i$.
• ${\mathrm{\Delta }}_i$ = l'aire de la face $F_i$.

Aires et volume

Soit ${\mathrm{\Delta }}_i$ l'aire de la face $F_i$. Connaissant les trois longueurs des arêtes, on a (formule de Héron)

${\mathrm{\Delta }}_i=\sqrt{\frac{(d_{jk}+d_{jl}+d_{kl})(-d_{jk}+d_{jl}+d_{kl})(d_{jk}-d_{jl}+d_{kl})(d_{jk}+d_{jl}-d_{kl})}{16}}$

(ou plus simplement, connaissant l'un des angles, ${\mathrm{\Delta }}_i=\frac{1}{2}{d}_{jk}{d}_{jl}\sin {\alpha }_{j,i}$).

Soit $h_i$ la hauteur menée de $P_i$, c'est-à-dire la distance du sommet $P_i$ à la face $F_i$. Le volume du tétraèdre est donné par $V=\frac{1}{3}{\mathrm{\Delta }}_i{h}_i$ ; il peut s'exprimer directement à l'aide des carrés des longueurs des arêtes par le déterminant de Cayley-Menger :

$288V^2=\left|\begin{array}{ccc}2d_{12}^2& d_{12}^2+d_{13}^2-d_{23}^2& d_{12}^2+d_{14}^2-d_{24}^2\\ d_{12}^2+d_{13}^2-d_{23}^2& 2d_{13}^2& d_{13}^2+d_{14}^2-d_{34}^2\\ d_{12}^2+d_{14}^2-d_{24}^2& d_{13}^2+d_{14}^2-d_{34}^2& 2d_{14}^2\end{array}\right|$.

Résultats préliminaires

Triangles affines

La face $F_i$ est un triangle dont les côtés ont pour longueurs $d_{jk},d_{jl},d_{kl}$ et les angles respectifs opposés à ces côtés sont ${\alpha }_{l,i},{\alpha }_{k,i},{\alpha }_{j,i}$. Les relations classiques de la trigonométrie du triangle s'appliquent, par exemple on a (loi des cosinus) $d_{kl}^2=d_{jk}^2+d_{jl}^2-2d_{jk}{d}_{jl}\cos {\alpha }_{j,i}.$

Triangles projectifs

Le drapeau au sommet $P_i$ (c'est-à-dire l'ensemble des arêtes et des faces passant par lui) peut être interprété par projection centrale à partir du sommet comme un triangle sphérique, dont les sommets sont les trois arêtes, les côtés sont les trois faces ayant pour longueur (sur la sphère unité) ${\alpha }_{i,j},{\alpha }_{i,k},{\alpha }_{i,l}$, et les angles sont respectivement les angles dièdres ${\theta }_{ij},{\theta }_{ik},{\theta }_{il}$. Les relations classiques de la trigonométrie sphérique s'appliquent, et on a par exemple (formule des cosinus) $\cos {\alpha }_{i,j}=\cos {\alpha }_{i,k}\cos {\alpha }_{j,k}+\sin {\alpha }_{i,k}\sin {\alpha }_{j,k}\cos {\theta }_{i,j}.$

Relations trigonométriques dans le tétraèdre

Théorème des sinus alternés

Parmi les neuf angles des trois faces concourantes au sommet $P_i$, les six n'ayant pas $P_i$ comme sommet sont liés par l'identité suivante (correspondant à des rotations autour de $P_i$ dans les deux sens possibles) : $\sin {\alpha }_{j,l}\sin {\alpha }_{k,j}\sin {\alpha }_{l,k}=\sin {\alpha }_{j,k}\sin {\alpha }_{k,l}\sin {\alpha }_{l,j}$.

Espace des formes

Les quatre identités ainsi obtenues ne sont pas indépendantes : en multipliant membre à membre trois d'entre elles et en simplifiant, on obtient la quatrième. Partant d'un ensemble de douze angles arbitraires, ces trois identités et les quatre contraintes sur la somme des trois angles de chaque face (devant être égale à π) impliquent que l'espace des formes des tétraèdres doit être de dimension 5, ce que confirme le fait que les 6 longueurs des arêtes déterminent un tétraèdre unique, et donc tous les tétraèdres de même forme lui étant homothétiques, la donnée de cinq nombres suffit pour caractériser la forme.

Loi des sinus

La valeur absolue du sinus polaire (psin) des vecteurs normaux aux trois faces ayant un sommet en communModèle:Note, divisée par l'aire de la quatrième face, ne dépend pas du choix de ce sommet :

$\begin{array}{cc}& \frac{|\mathrm{psin}({𝐧}_{\mathrm{𝟐}},{𝐧}_{\mathrm{𝟑}},{𝐧}_{\mathrm{𝟒}})|}{{\mathrm{\Delta }}_1}=\frac{|\mathrm{psin}({𝐧}_{\mathrm{𝟏}},{𝐧}_{\mathrm{𝟑}},{𝐧}_{\mathrm{𝟒}})|}{{\mathrm{\Delta }}_2}=\frac{|\mathrm{psin}({𝐧}_{\mathrm{𝟏}},{𝐧}_{\mathrm{𝟐}},{𝐧}_{\mathrm{𝟒}})|}{{\mathrm{\Delta }}_3}=\frac{|\mathrm{psin}({𝐧}_{\mathrm{𝟏}},{𝐧}_{\mathrm{𝟐}},{𝐧}_{\mathrm{𝟑}})|}{{\mathrm{\Delta }}_4}\\ =& \frac{(3{\mathrm{Volume}}_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{r}\mathrm{e}}{)}^2}{2{\mathrm{\Delta }}_1{\mathrm{\Delta }}_2{\mathrm{\Delta }}_3{\mathrm{\Delta }}_4}.\end{array}$

(plus généralement, pour un n-simplexe (par exemple un triangle (Modèle:Math), où cette formule correspond à la loi des sinus, ou un pentachore (Modèle:Math), etc.) d'un espace euclidien de dimension n, on a la même relation, la valeur commune étant $\frac{(nV{)}^{n-1}}{(n-1)!P}$, où V est le volume du simplexe, et P le produit des aires de ses faces).

Loi des cosinus

Un analogue de la loi des cosinus relie les aires des faces aux angles dièdres : ${\mathrm{\Delta }}_i^2={\mathrm{\Delta }}_j^2+{\mathrm{\Delta }}_k^2+{\mathrm{\Delta }}_l^2-2({\mathrm{\Delta }}_j{\mathrm{\Delta }}_k\cos {\theta }_{il}+{\mathrm{\Delta }}_j{\mathrm{\Delta }}_l\cos {\theta }_{ik}+{\mathrm{\Delta }}_k{\mathrm{\Delta }}_l\cos {\theta }_{ij})$.

Relation entre les angles dièdres

En projetant (orthogonalement) les trois faces $F_i,F_j,F_k$ sur le plan de la face $F_l$, et en posant $c_{ij}=\cos {\theta }_{ij}$, on voit facilement que l'aire de la face $F_l$ est la somme (algébrique) des aires projetées, c'est-à-dire que ${\mathrm{\Delta }}_l={\mathrm{\Delta }}_i{c}_{jk}+{\mathrm{\Delta }}_j{c}_{ik}+{\mathrm{\Delta }}_k{c}_{ij}$ ; on en déduit le système linéaire homogène $\{\begin{array}{c}-{\mathrm{\Delta }}_1+{\mathrm{\Delta }}_2{c}_{34}+{\mathrm{\Delta }}_3{c}_{24}+{\mathrm{\Delta }}_4{c}_{23}=0\\ {\mathrm{\Delta }}_1{c}_{34}-{\mathrm{\Delta }}_2+{\mathrm{\Delta }}_3{c}_{14}+{\mathrm{\Delta }}_4{c}_{13}=0\\ {\mathrm{\Delta }}_1{c}_{24}+{\mathrm{\Delta }}_2{c}_{14}-{\mathrm{\Delta }}_3+{\mathrm{\Delta }}_4{c}_{12}=0\\ {\mathrm{\Delta }}_1{c}_{23}+{\mathrm{\Delta }}_2{c}_{13}+{\mathrm{\Delta }}_3{c}_{12}-{\mathrm{\Delta }}_4=0\end{array}$. Puisque ce système a la solution non triviale correspondant au tétraèdre, c'est que le déterminant$\left|\begin{array}{cccc}-1& c_{34}& c_{24}& c_{23}\\ c_{34}& -1& c_{14}& c_{13}\\ c_{24}& c_{14}& -1& c_{12}\\ c_{23}& c_{13}& c_{12}& -1\end{array}\right|$ est nul.

Développant ce déterminant, on obtient une relation entre les angles dièdres : $1-\sum _{1\le i<j\le 4}{c}_{ij}^2+\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{j=2}{k\ne l\ne j}}^4{c}_{1j}^2{c}_{kl}^2=2(\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{i=1}{j\ne k\ne l\ne i}}^4{c}_{ij}{c}_{ik}{c}_{il}+\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{2\le j<k\le 4}{l\ne j,k}}{c}_{1j}{c}_{1k}{c}_{jl}{c}_{kl})$.

Distances entre les arêtes

Par hypothèses, les deux arêtes $e_{ij}$ et $e_{kl}$ sont non coplanaires ; notant $P_{ij}$ (sur $e_{ij}$) et $P_{kl}$ (sur $e_{kl}$) les pieds de leur perpendiculaire commune (c'est-à-dire que la droite $(P_{ij}{P}_{kl})$ est orthogonale aux deux arêtes), la distance entre les deux arêtes, $R_{ij}$, est par définition la longueur du segment $[P_{ij},P_{kl}]$ (c'est la plus courte distance entre deux points quelconques des arêtes).

Des calculs trigonométriques élémentaires, mais assez pénibles, aboutissent à la formule suivante :

$R_{ij}=\frac{12V}{\sqrt{4d_{ij}^2{d}_{kl}^2-(d_{ik}^2+d_{jl}^2-d_{il}^2-d_{jk}^2{)}^2}}$,

où le dénominateur est une variante de la formule de Bretschneider pour les quadrilatères.