Moment factoriel

En mathématiques et plus particulièrement en théorie des probabilités, le moment factoriel désigne l'espérance de la factorielle décroissante d'une variable aléatoire. Les moments factoriels sont utiles dans l'étude de variables aléatoires à valeurs dans l'ensemble des entiers naturels.

Les moments factoriels sont aussi utilisés dans le domaine mathématique de la combinatoire, pour étudier des structures mathématiques discrètes.

Définition

Pour un entier naturel Modèle:Formule, le Modèle:Formule-ième moment factoriel d'une variable aléatoire Modèle:Formule à valeurs réelles ou complexes est

$𝔼[(X{)}_r]=𝔼[X(X-1)(X-2)\cdots (X-r+1)]$

où $𝔼$ désigne l'espérance et

$(x{)}_r:=\underset{r\text{ termes}}{\underbrace{x(x-1)(x-2)\cdots (x-r+1)}}$

désigne la factorielle décroissante (on considère que $(x{)}_0=1$ par convention). Pour que cette dernière espérance soit bien définie il faut par exemple que $(X{)}_r\ge 0$ ou $𝔼[|(X{)}_r|]<\mathrm{\infty }$.

A noter que, dans la définition, il n'est pas nécessaire que Modèle:Formule soit à valeurs entières positives, même si bien souvent la notion de moment factoriel est utilisée dans le cadre de variables aléatoires à valeurs dans l'ensemble des entiers naturels.

Exemples

Loi de Poisson

Si une variable aléatoire Modèle:Formule suit une loi de Poisson de paramètre λ, alors les moments factoriels de Modèle:Formule sont donnés par

$𝔼[(X{)}_r]={\lambda }^r$.

Cette formule est plutôt simple comparée à la formule des moments classiques qui fait intervenir les nombres de Stirling de seconde espèce.

Loi binomiale

Si une variable aléatoire Modèle:Formule suit une loi binomiale de paramètres Modèle:Formule et Modèle:Formule, alors les moments factoriels de Modèle:Formule sont donnés par

$𝔼[(X{)}_r]=(n{)}_r{p}^r$.

Loi hypergéométrique

Si une variable aléatoire Modèle:Formule suit une loi hypergéométrique de paramètres Modèle:Formule, Modèle:Formule et Modèle:Formule, alors les moments factoriels de Modèle:Formule sont donnés par

$𝔼[(X{)}_r]=\frac{(n{)}_r(pN{)}_r}{(N{)}_r}$.

Loi bêta-binomiale

Si une variable aléatoire Modèle:Formule suit une loi bêta-binomiale de paramètres Modèle:Formule, Modèle:Formule et Modèle:Formule, alors les moments factoriels de Modèle:Formule sont donnés par

$𝔼[(X{)}_r]=\frac{(n{)}_r(\alpha {)}_r}{(\alpha +\beta {)}_r}$.

Loi de Markov-Pólya

Si une variable aléatoire Modèle:Formule suit une loi de Markov-Pólya de paramètres Modèle:Formule, Modèle:Formule, Modèle:Formule et Modèle:Formule, autrement dit, si

$\mathbb{P}(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{a(a+h)\dots (a+(k-1)h)b(b+h)\dots (b+(n-k-1)h)}{(a+b)(a+b+h)\dots (a+b+(n-1)h)}\mathrm{\forall }k=0,1,\dots n$

alors pour Modèle:Formule non nul les moments factoriels de Modèle:Formule sont donnés par

$𝔼[(X{)}_r]=\frac{(n{)}_r(-a/h{)}_r}{(-(a+b)/h{)}_r}=\frac{(n{)}_r(a/h{)}^{(r)}}{((a+b)/h{)}^{(r)}}$

où $x^{(r)}$ désigne la factorielle croissante.

Lorsque Modèle:Formule est nul alors Modèle:Formule suit une loi binomiale de paramètres Modèle:Formule et Modèle:Formule.

De même lorsque Modèle:Formule vaut –1 alors Modèle:Formule suit une loi hypergéométrique de paramètres Modèle:Formule, Modèle:Formule et Modèle:Formule.

Enfin lorsque Modèle:Formule vaut 1 alors Modèle:Formule suit une loi bêta-binomiale de paramètres Modèle:Formule, Modèle:Formule et Modèle:Formule.

Loi binomiale négative

Si une variable aléatoire Modèle:Formule suit une loi binomiale négative de paramètres Modèle:Formule et Modèle:Formule, autrement dit, si

$\mathbb{P}(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k})p^n(1-p{)}^k\mathrm{\forall }k=0,1,\dots$

alors les moments factoriels de Modèle:Formule sont donnés par

$𝔼[(X{)}_r]=\frac{(1-p{)}^r{n}^{(r)}}{p^r}$

où $x^{(r)}$ désigne la factorielle croissante.

Lien avec d'autres quantités

Moments

Le Modèle:Formule-ième moment d'une variable aléatoire Modèle:Formule existe et est fini si et seulement si son Modèle:Formule-ième moment factoriel existe et est fini, de plus, le cas échéant, on a la relation suivante

$𝔼\left[X^n\right]=\sum _{r=0}^{n}S(n,r)𝔼[(X{)}_r]$

où Modèle:Formule désigne un nombre de Stirling de seconde espèce.

Fonction génératrice des probabilités

Dans le cas d'une variable aléatoire Modèle:Formule à valeurs entières positives, le Modèle:Formule-ième moment factoriel d'une variable aléatoire Modèle:Formule existe et est fini si et seulement si sa fonction génératrice des probabilités $G_X$ admet une dérivée à gauche d'ordre Modèle:Formule en 1, de plus, le cas échéant, on a la relation suivante

$𝔼[(X{)}_r]=G_X^{(r)}(1)$.

Fonction de masse

Dans le cas d'une variable aléatoire Modèle:Formule à valeurs entières positives on peut naturellement relier le Modèle:Formule-ième moment factoriel de Modèle:Formule avec sa fonction de masse comme suit

$𝔼[(X{)}_r]=\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(r+k)!}{k!}\mathbb{P}(X=r+k)$.

Il est possible d'inverser cette formule afin d'obtenir une expression de la fonction de masse en fonction des moments factoriels

$\mathbb{P}(X=k)=\sum _{\ell =0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{\ell }}{k!\ell !}𝔼[(X{)}_{k+\ell }]$.

Voir également

• Moment (mathématiques)
• Cumulant