Tribu optionnelle

Modèle:Orphelin En mathématiques, une tribu optionnelle ou σ-algèbre optionnelle est la tribu générée par tous les processus adaptés et càdlàg (continue à droite, limite à gauche).

Definition

Étant donné un espace de probabilité filtré $(\mathrm{\Omega },ℱ,𝐅,P)$ avec une filtration $𝐅:=({ℱ}_t{)}_{t\ge 0}$ satisfaisant les conditions usuelles.

La tribu optionnelle $𝒪$ (ou $𝒪(𝐅)$ notée) est la tribu sur $\mathrm{\Omega }\times {ℝ}_{+}$ générée par tous les processus adaptés et càdlàg.

Un processus qui est mesurable par rapport à cette tribu, c'est-à-dire l'application $(\omega ,t)\mapsto X_t(\omega )$ est $𝒪$-mesurable, est appelé optionnel.

Propriétés

Soient $𝒫$ la tribu prévisible et $\text{Prog}$ la tribu progressivement mesurable. Alors l'inclusion s'applique

$𝒫\subset 𝒪\subset \text{Prog}\subset {ℱ}_{\mathrm{\infty }}\otimes ℬ({ℝ}_{+}).$

Bibliographie

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