Processus progressivement mesurable

En mathématiques, un processus progressivement mesurable est un type de processus stochastique. Ce type de processus permet de démontrer qu'un processus arrêté est mesurable.

Définition

Soient

• $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ un espace de probabilité ;
• $(𝕏,𝒜)$ un espace mesurable, l'espace d'états ;
• $\{{ℱ}_t\mid t\ge 0\}$ une filtration de la σ-algèbre $ℱ$;
• $X:[0,\mathrm{\infty })\times \mathrm{\Omega }\to 𝕏$ un processus stochastique (l'ensemble des indices pourrait être $[0,T]$ ou ${\mathbb{N}}_0$ au lieu de $[0,\mathrm{\infty })$)
• $ℬ([0,t])$ la σ-algèbre de Borel sur $[0,t]$.

Le processus $X$ est dit progressivement mesurable si, pour chaque $t$, l'application $[0,t]\times \mathrm{\Omega }\to 𝕏$ définie par $(s,\omega )\mapsto X_s(\omega )$ est $ℬ([0,t])\otimes {ℱ}_t$ - mesurable. Cela implique que $X$ est ${ℱ}_t$ - adapté.