Star-produit

En physique mathématique, le star-produit est un opérateur mathématique sur une variété de Poisson pour déformer la multiplication de l'algèbre des fonctions lisses à valeurs complexes en une algèbre associative non commutative.

L'opérateur est une quantification de déformation, une formalisation mathématique de la quantification issue de la physique.

Définitions

Déformation formelle

Soit $R$ un anneau commutatif et $𝒜$ une algèbre sur un anneau. Soit $R[[\lambda ]]$ l'anneau des séries formelles et $𝒜[[\lambda ]]$ l'algèbre des séries formelles sur $R[[\lambda ]]$ avec les coefficients dans $𝒜$.

La déformation formelle $\star$ de l'opérateur de multiplication $\cdot$ de l'algèbre $𝒜$ est une application $R[[\lambda ]]$-bilinéaire

$\star :𝒜[[\lambda ]]\times 𝒜[[\lambda ]]\to 𝒜[[\lambda ]]$

tel que pour tout $u,v\in 𝒜[[\lambda ]]$

$u\star v=uv\mathrm{mod}\lambda ,$

et $uv$ est la multiplication des séries formelles :

$uv:=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^n\sum _{k=0}^n{u}_k{v}_{n-k},u_k,v_k\in 𝒜$

Star-produit

Soit $(M,\pi )$ une variété de Poisson, où $\pi$ est un tenseur de Poisson.

Le star-produit $\star$ est une déformation formelle sur $C^{\mathrm{\infty }}(M)[[\lambda ]]$, c'est-à-dire une multiplication $ℂ[[\lambda ]]$-bilinéaire

$\star :C^{\mathrm{\infty }}(M)[[\lambda ]]\times C^{\mathrm{\infty }}(M)[[\lambda ]]\to C^{\mathrm{\infty }}(M)[[\lambda ]]$

de la forme

$f\star g=\sum _{r=0}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^r{C}_r(f,g)$

et $C_r$ sont des applications $ℂ$-bilinéaire

$C_r:C^{\mathrm{\infty }}(M)\times C^{\mathrm{\infty }}(M)\to C^{\mathrm{\infty }}(M)$

vérifiant les axiomes:

1. $\star$ est associative: $(f\star g)\star h=f\star (g\star h)$ pour tout $f,g,h\in C^{\mathrm{\infty }}(M)$.
2. $C_0(f,g)=fg$.
3. $C_1(f,g)-C_1(g,f)=\mathrm{i}\{f,g\}$ (où $\{,\}$ est le crochet de Poisson).
4. $1\star f=f=f\star 1$ pour tout $f\in C^{\mathrm{\infty }}(M)$.

Propriétés

Si les $C_r$ sont des opérateurs bidifférentiels, $\star$ est appelé un star-produit différentiel.

Si les $C_r$ sont des opérateurs bidifférentiels d'ordre $r$ est dans chaque argument, $\star$ est appelé un star-produit naturel.

On appelle un $\star$ du type Weyl, si $C_r(f,g)=(-1{)}^r{C}_r(g,f)$ et $\star$ est hermitien, c'est-à-dire $\overline{f\star g}=\overline{f}\star \overline{g}$ (avec la convention $\overline{\lambda }=\lambda$).

Exemple

• Le Modèle:Lien $\star$ défini comme

$f\star g:=f(q,p)\exp \left(\frac{\mathrm{i}\hslash }{2}(\overleftarrow{{\partial }_q}\overrightarrow{{\partial }_p}-\overleftarrow{{\partial }_p}\overrightarrow{{\partial }_q})\right)g(q,p)$

pour $f,g\in C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^{\mathrm{𝟚}𝕟})$ est un star-produit sur $M:={ℝ}^{2n}$ avec une forme symplectique canonique $\pi :=\omega$ et la constante de Planck $\lambda :=\hslash$.

Existence

Sur les variétés symplectiques

De Wilde et Lecomte ont prouvé qu'un star-produit différentiel existe sur chaque variété symplectique.

Sur les variétés de Poisson

Maxime Kontsevitch a prouvé que toute variété de Poisson de dimension finie peut être quantifiée, ce qui implique l'existence de star-produits différentiels sur des variétés de Poisson arbitraires.

Littérature

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage