Mesure gaussienne

Modèle:Ébauche En analyse, les mesures gaussiennes sont des mesures qui ont une mesure image avec une densité normale sur $ℝ$.

Définition

Mesure gaussienne dans des espaces de dimension finie

En dimension 1

Une mesure de probabilité de Borel $\gamma$ sur $ℝ$ est une mesure gaussienne si l'une des deux conditions suivantes est vérifiée :

• c'est la mesure de Dirac $\gamma :={\delta }_p$ en un point $p$
• elle a la forme suivante

$\gamma (B)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\underset{B}{\int }\exp (-\frac{(x-a{)}^2}{2{\sigma }^2})\mathrm{d}x,B\in ℬ(ℝ)$

par rapport à la mesure de Lebesgue.

Le second cas est dit non dégénéré.

En dimension d

Une mesure de probabilité de Borel sur ${ℝ}^d$ est une mesure gaussienne si pour toute fonctionnelle linéaire $f\in ({ℝ}^d{)}^{*}$, la mesure $\gamma \circ f^{-1}$ est une mesure gaussienne sur $ℝ$.

Mesure gaussienne dans des espaces de dimension infinie

Espace localement convexe

Soit $X$ un espace localement convexe et $ℰ(X)$ la tribu généré par tous les sous-ensembles cylindriques de $X$, telle que toutes les fonctionnelles $f\in X^{*}$ soient mesurables.

Une mesure de probabilité $\gamma$ sur $ℰ(X)$ est gaussienne si pour toute fonctionnelle $f\in X^{*}$ la mesure $\gamma \circ f^{-1}$ est une mesure gaussienne sur $ℝ$.