Mesure image

En théorie de la mesure, la mesure image est une mesure définie sur un espace mesurable et transférée sur un autre espace mesurable via une fonction mesurable.

Définition

On se donne deux espaces mesurables $(X_1,{\mathrm{\Sigma }}_1)$ et $(X_2,{\mathrm{\Sigma }}_2)$, une application mesurable $f:X_1\to X_2$ et une mesure $\mu :{\mathrm{\Sigma }}_1\to [0,+\mathrm{\infty }]$. La mesure image de Modèle:Math par Modèle:Math est une mesure sur ${\mathrm{\Sigma }}_2$ notée $f_{\ast }\mu$ et définie par :

$(f_{\ast }\mu )(B)=\mu (f^{-1}(B))\text{ pour tout }B\in {\mathrm{\Sigma }}_2.$

Cette définition s'applique également aux mesures complexes signées.

Formule de changement de variables

La formule de changement de variables est l'une des principales propriétés : Une fonction g sur XModèle:Ind est intégrable par rapport à la mesure image Modèle:Math si et seulement si la fonction composée Modèle:Math est intégrable par rapport à la mesure Modèle:Math. Dans ce cas les deux intégrales coïncident :

$\underset{X_2}{\int }g\mathrm{d}(f_{\ast }\mu )=\underset{X_1}{\int }g\circ f\mathrm{d}\mu .$

Exemples et applications

• La mesure de Lebesgue naturelle sur le cercle unité Modèle:Math, vu ici comme sous ensemble du plan complexe Modèle:Math, n'est pas définie comme la mesure image de la mesure de Lebesgue Modèle:Mvar sur l'ensemble des réels Modèle:Math, mais de sa restriction, que nous noterons également Modèle:Mvar, à l'intervalle Modèle:Math. Soit Modèle:Math la bijection naturelle définie par Modèle:Math. La mesure de Lebesgue sur Modèle:Math est alors la mesure image Modèle:Math. Cette mesure Modèle:Math peut également être appelée mesure de longueur d'arc ou mesure d'angle, puisque la Modèle:Math-mesure de l'arc Modèle:Math est précisément la longueur de l'arc.
• L'exemple précédent s'étend pour définir la mesure de Lebesgue sur le tore Modèle:Mvar-dimensionnel Modèle:Mvar. La mesure de Lebesgue sur Modèle:Mvar est, à renormalisation près, la mesure de Haar sur le groupe de Lie compact connexe Modèle:Mvar.
• Une variable aléatoire est une application mesurable entre un espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mathbb{P})$ et Modèle:Math. La mesure de probabilité d'une variable aléatoire est la mesure image de ℙ par la variable aléatoire X :

${\mathbb{P}}_X=X_{\ast }\mathbb{P}=\mathbb{P}(X^{-1}(\cdot )).$

• Considérons la fonction mesurable Modèle:Math et la composition de Modèle:Mvar par elle-même Modèle:Mvar fois :

$f^{(n)}=\underset{n\text{ fois}}{\underbrace{f\circ f\circ \dots \circ f}}:X\to X.$

Cette fonction itérative forme un système dynamique. Il est souvent utile de trouver une mesure Modèle:Mvar sur Modèle:Mvar que l'application Modèle:Mvar laisse inchangée, ou Modèle:Lien, i.e. qui vérifie : Modèle:Math.