Double classe

En théorie des groupes, un domaine des mathématiques, une double classe est une partie d'un groupe de la formeModèle:,

$HxK=\{hxk:h\in H,k\in K\},$

où Modèle:Formule et Modèle:Formule sont deux sous-groupes d'un groupe Modèle:Formule et Modèle:Formule est un élément de Modèle:Formule. On dit alors plus précisément que Modèle:Formule est la double classe de Modèle:Formule selon Modèle:Formule ou sa Modèle:Formule-double classe.

Lorsque Modèle:Formule, elle est appelée la Modèle:Formule-double classe de Modèle:Formule. De façon équivalente, Modèle:Formule est la classe d'équivalence de Modèle:Formule pour la relation d'équivalence

Modèle:Formule s'il existe Modèle:Formule dans Modèle:Formule et Modèle:Formule dans Modèle:Formule tel que Modèle:Formule.

L'ensemble de toutes les doubles classes est noté $H\mathrm{\setminus }G/K$.

Propriétés

Soit Modèle:Formule un groupe et soient Modèle:Formule et Modèle:Formule des sous-groupes de Modèle:Formule. On les fait agir respectivement par multiplication à gauche et à droite sur Modèle:Formule. Comme les actions commutent, cela donne lieu à une action du produit Modèle:Formule : l'action est définie pour Modèle:Formule dans Modèle:Formule et Modèle:Formule dans Modèle:Formule par Modèle:Formule. Alors les Modèle:Formule-doubles classes de Modèle:Formule sont exactement les orbites de cette action. De nombreuses propriétés de base des doubles classes découlent immédiatement de ce fait. Cependant, comme Modèle:Formule est un groupe et que Modèle:Formule et Modèle:Formule sont des sous-groupes agissant par multiplication, les doubles classes ont plus de structures et de propriétés que les orbites d'actions de groupe générales.

• Deux doubles classes Modèle:Formule et Modèle:Formule sont soit disjointes, soit identiques.
• Modèle:Formule est la réunion disjointe de ses doubles classes.
• Il existe une bijection entre les deux ensembles de doubles classes Modèle:Formule et Modèle:Formule, l'application qui à Modèle:Formule associe Modèle:Formule pour Modèle:Formule dans Modèle:Formule.
• Si Modèle:Formule, alors Modèle:Formule. Si Modèle:Formule, alors Modèle:Formule.
• Une double classe Modèle:Formule est une réunion de classes à droite suivant Modèle:Formule et de classes à gauche suivant Modèle:Formule ; plus précisément,

  $\begin{array}{cc}HxK& =\bigcup _{k\in K}Hxk=\coprod _{Hxk\in H\mathrm{\setminus }HxK}Hxk,\\ HxK& =\bigcup _{h\in H}hxK=\coprod _{hxK\in HxK/K}hxK.\end{array}$

• L'ensemble des Modèle:Formule-doubles classes est en bijection avec l'ensemble Modèle:Formule des orbites de Modèle:Formule dans le quotient Modèle:Formule, et aussi avec l'ensemble Modèle:Formule des orbites de Modèle:Formule dans le quotient Modèle:Formule ; les bijections son respectivementt les applications $HxK\to H(xK)$ et $HxK\to (Hx)K$.
• Si Modèle:Formule est distingué, alors Modèle:Formule est un groupe, ainsi que Modèle:Formule, et l'action à droite de Modèle:Formule sur ce groupe se factorise par l'action à droite de Modèle:Formule. Il en résulte que Modèle:Formule . De même, si Modèle:Formule est distingué, alors Modèle:Formule .
• Si Modèle:Formule est un sous-groupe dinstingué de Modèle:Formule, alors les Modèle:Formule-doubles classes sont en bijection avec les classes à gauche (et à droite) suivant Modèle:Formule.
• On considère Modèle:Formule comme la réunion d'une Modèle:Formule-orbite de classes à droite suivant Modèle:Formule. Le stabilisateur de la classe Modèle:Formule par rapport à l'action droite de Modèle:Formule est Modèle:Formule. De même, le stabilisateur de la classe à gauche Modèle:Formule par rapport à l'action gauche de Modèle:Formule est Modèle:Formule.
• Il en résulte que le nombre de classes à droite suivant Modèle:Formule contenues dans Modèle:Formule est l'indice Modèle:Formule et le nombre de classes à gauche suivant Modèle:Formule contenus dans Modèle:Formule est l'indice Modèle:Formule . On a ainsi :

  $\begin{array}{cc}|HxK|& =[H:H\cap xK{x}^{-1}]|K|=|H|[K:K\cap x^{-1}Hx],\\ [G:H]& =\sum _{HxK\in H\mathrm{\setminus }G/K}[K:K\cap x^{-1}Hx],\\ [G:K]& =\sum _{HxK\in H\mathrm{\setminus }G/K}[H:H\cap xK{x}^{-1}].\end{array}$

• Si Modèle:Formule, Modèle:Formule et Modèle:Formule sont finis, on en déduit encore que

  $\begin{array}{cc}|HxK|& =\frac{|H||K|}{|H\cap xK{x}^{-1}|}=\frac{|H||K|}{|K\cap x^{-1}Hx|},\\ [G:H]& =\sum _{HxK\in H\mathrm{\setminus }G/K}\frac{|K|}{|K\cap x^{-1}Hx|},\\ [G:K]& =\sum _{HxK\in H\mathrm{\setminus }G/K}\frac{|H|}{|H\cap xK{x}^{-1}|}.\end{array}$

• Pour Modèle:Formule dans Modèle:Formule fixé, soit Modèle:Formule le double stabilisateur Modèle:Formule : c'est un sous-groupe de Modèle:Formule.
• Puisque Modèle:Formule est un groupe, pour chaque Modèle:Formule dans Modèle:Formule il y a précisément un Modèle:Formule dans Modèle:Formule tel que Modèle:Formule, à savoir Modèle:Formule ; cependant, Modèle:Formule peut ne pas être dans Modèle:Formule. De même, pour chaque Modèle:Formule dans Modèle:Formule, il y a précisément un Modèle:Formule dans Modèle:Formule tel que Modèle:Formule, mais Modèle:Formule peut ne pas être dans Modèle:Formule. Le double stabilisateur peut donc être décrit comme

  $(H\times K{)}_x=\{(h,x^{-1}{h}^{-1}x):h\in H\}\cap H\times K=\{(x{k}^{-1}{x}^{-1},k):k\in K\}\cap H\times K.$

• (Théorème du stabilisateur d'orbite) L'application orbitale de Modèle:Formule sur Modèle:Formule qui à l'élément Modèle:Formule associe la classe à gauche Modèle:Formule est bien définie et bijective. On en déduit que si Modèle:Formule, Modèle:Formule et Modèle:Formule sont finis, alors

  $|HxK|=[H\times K:(H\times K{)}_x]=|H\times K|/|(H\times K{)}_x|.$

• (Lemme de Cauchy–Frobenius) Soit Modèle:Formule l'ensemble des éléments fixés par l'action de Modèle:Formule. Alors

  $|H\mathrm{\setminus }G/K|=\frac{1}{|H||K|}\sum _{(h,k)\in H\times K}|G^{(h,k)}|.$

• En particulier, si Modèle:Formule, Modèle:Formule et Modèle:Formule sont finis, alors le nombre de doubles classes est égal au nombre moyen de points fixés par couple d'éléments du produit Modèle:Formule.

Il existe une description équivalente des doubles classes en termes de classes simples (à gauche ou à droite). On fait agir Modèle:Formule et Modèle:Formule tous les deux par multiplication à droite sur Modèle:Formule. Alors Modèle:Formule agit par multiplication à gauche sur le produit des quotients Modèle:Formule. Les orbites de cette action sont en bijection avec Modèle:Formule, via l'application qui envoie Modèle:Formule sur la double classe Modèle:Formule. En bref, c'est parce que toute Modèle:Formule-orbite admet des représentants de la forme Modèle:Formule, et le représentant Modèle:Formule n'est déterminé qu'à la multiplication à gauche par un élément de Modèle:Formule près. De même, Modèle:Formule agit par multiplication à droite sur Modèle:Formule, et les orbites de cette action sont en bijection avec le double quotient Modèle:Formule. Conceptuellement, cela identifie le double quotient Modèle:Formule avec l'espace des configurations relatives d'une classe suivant Modèle:Formule et d'une classe suivant Modèle:Formule. De plus, cette construction se généralise à n'importe quel nombre de sous-groupes. Étant donné des sous-groupes Modèle:Formule, l'espace de Modèle:Formule-multiclasses est l'ensemble des Modèle:Formule-orbites dans Modèle:Formule.

L'analogue du théorème de Lagrange pour les doubles classes est faux. Cela signifie que le cardinal d'une double classe n'est pas nécessairement un diviseur de l'ordre de Modèle:Formule. Par exemple, soit Modèle:Formule le groupe symétrique sur trois lettres, et soient Modèle:Formule et Modèle:Formule les sous-groupes cycliques engendrés par les transpositions Modèle:Formule et Modèle:Formule, respectivement. Si Modèle:Formule désigne l'identité, sa double classe est

$HeK=HK=\{e,(12),(13),(132)\}.$

Elle contient quatre éléments, et quatre ne divise pas six, l'ordre de Modèle:Formule. Il est également faux que différentes doubles classes ont la même taille. Avec le même exemple, la classe de Modèle:Formule est

$H(23)K=\{(23),(123)\},$

qui a deux éléments et pas quatre.

Supposons cependant que Modèle:Formule soit distingué. Comme indiqué précédemment, dans ce cas, l'ensemble des doubles classes s'identifie au quotient Modèle:Formule. De même, si Modèle:Formule est normal, alors Modèle:Formule est le quotient Modèle:Formule. Les résultats standard sur les quotients à gauche et à droite impliquent alors les faits suivants.

• Modèle:Formule pour tout Modèle:Formule dans Modèle:Formule. Autrement dit, toutes les doubles classes ont le même cardinal.
• Si Modèle:Formule est fini, alors Modèle:Formule. En particulier, Modèle:Formule et Modèle:Formule divisent Modèle:Formule.

Exemples

• Soit Modèle:Formule le groupe symétrique, considéré comme permutations de l'ensemble Modèle:Formule. Considérons le sous-groupe Modèle:Formule qui fixe Modèle:Formule. Alors Modèle:Formule est formé de deux doubles classes. L'une est Modèle:Formule, et l'autre est Modèle:Formule pour toute permutation Modèle:Formule qui ne fixe pas Modèle:Formule. Cela contraste avec Modèle:Formule, qui a $n$ éléments ${\gamma }_1{S}_{n-1},{\gamma }_2{S}_{n-1},...,{\gamma }_n{S}_{n-1}$, où ${\gamma }_i(n)=i$ pour tout $i$.
• Soit Modèle:Formule le groupe Modèle:Formule, et soit Modèle:Formule le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures. Le double quotient Modèle:Formule est décrit par la décomposition de Bruhat de Modèle:Formule. Les doubles classes sont exactement les Modèle:Formule, où Modèle:Formule parcourt l'ensemble des matrices de permutation. Par exemple, si Modèle:Formule, alors

  $B\mathrm{\setminus }{\mathrm{GL}}_2(𝐑)/B=\{B\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)B,B\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)B\}.$ (On peut préciser un peu : la première classe est Modèle:Formule et la deuxième est formée des matrices dont le coefficient d'indice Modèle:Formule est non nul.)

Produits dans le groupe abélien libre sur l'ensemble des doubles classes

Soit Modèle:Formule un groupe et soient Modèle:Formule, Modèle:Formule et Modèle:Formule des sous-groupes. Sous certaines conditions de finitude, il existe un produit sur le groupe abélien libre engendré par les Modèle:Formule- et Modèle:Formule-doubles classes, à valeurs dans le groupe abélien libre engendré par les Modèle:Formule-doubles classes. Autrement dit, il existe une application bilinéaire

$𝐙[H\mathrm{\setminus }G/K]\times 𝐙[K\mathrm{\setminus }G/L]\to 𝐙[H\mathrm{\setminus }G/L].$

On suppose pour simplifier que Modèle:Formule est fini. Pour définir le produit, on réinterprète ces groupes abéliens libres en termes de l'algèbre de groupe de Modèle:Formule comme suit. Tout élément de Modèle:Formule est de la forme

$\sum _{HxK\in H\mathrm{\setminus }G/K}{f}_{HxK}\cdot [HxK],$

où Modèle:Formule est une famille d'entiers indexés par les éléments de Modèle:Formule. Cet élément peut être interprété comme une fonction Modèle:Formule définie sur Modèle:Formule et à valeurs dans Modèle:Formule. Cette fonction peut être remontée via projection Modèle:Formule qui envoie Modèle:Formule à la double classe Modèle:Formule. Il en résulte une fonction Modèle:Formule de Modèle:Formule dans Modèle:Formule. Par construction, cette fonction est invariante à gauche sous Modèle:Formule et invariante à droite sous Modèle:Formule. L'élément correspondant de l'algèbre de groupe Modèle:Formule est

$\sum _{x\in G}{f}_{HxK}\cdot [x],$

et cet élément est invariant par multiplication à gauche par Modèle:Formule et multiplication à droite par Modèle:Formule. Conceptuellement, cet élément est obtenu en remplaçant Modèle:Formule par les éléments qu'il contient, et la finitude de Modèle:Formule assure que la somme est toujours finie. Inversement, tout élément de Modèle:Formule qui est invariant à gauche sous Modèle:Formule et invariant à droite sous Modèle:Formule est le pullback d'une fonction sur Modèle:Formule. Les assertions analogues sont vraies pour Modèle:Formule et Modèle:Formule.

Lorsque les éléments de Modèle:Formule, Modèle:Formule et Modèle:Formule sont interprétés comme des éléments invariants de Modèle:Formule, alors le produit dont l'existence a été affirmée ci-dessus est précisément la multiplication dans Modèle:Formule. En effet, il est trivial que le produit d'un élément Modèle:Formule-invariant à gauche et d'un élément Modèle:Formule-invariant à droite est encore Modèle:Formule-invariant à gauche et Modèle:Formule-invariant à droite. La bilinéarité du produit découle immédiatement de la bilinéarité de la multiplication dans Modèle:Formule. Il s'ensuit également que si Modèle:Formule est un quatrième sous-groupe de Modèle:Formule, alors le produit de doubles classes suivant Modèle:Formule, Modèle:Formule et Modèle:Formule est associatif. Comme le produit dans Modèle:Formule correspond à la convolution des fonctions sur Modèle:Formule, ce produit est parfois appelé le produit de convolution.

Un cas particulier important est celui où Modèle:Formule. Dans ce cas, le produit est une fonction bilinéaire

$𝐙[H\mathrm{\setminus }G/H]\times 𝐙[H\mathrm{\setminus }G/H]\to 𝐙[H\mathrm{\setminus }G/H].$

Ce produit fait de Modèle:Formule un anneau associatif dont l'élément d' identité est la classe de la double classe triviale Modèle:Formule. En général, cet anneau n'est pas commutatif. Par exemple, si Modèle:Formule, alors l'anneau est l'algèbre de groupe Modèle:Formule, et une algèbre de groupe est un anneau commutatif si et seulement si le groupe sous-jacent est abélien.

Si Modèle:Formule est distingué, de sorte que les double classes s'identifient aux classes à gauche, alors le produit sur Modèle:Formule est le produit dans l'algèbre de groupe Modèle:Formule. En particulier, il s'agit de la convolution habituelle des fonctions sur Modèle:Formule. Dans ce cas, l'anneau est commutatif si et seulement si Modèle:Formule est abélien, ou de manière équivalente, si et seulement si Modèle:Formule contient le groupe dérivé de Modèle:Formule.

Si Modèle:Formule n'est pas distingué, alors Modèle:Formule peut être commutatif même si Modèle:Formule n'est pas abélien. Un exemple classique est le produit de deux opérateurs de Hecke. C'est le produit dans l'algèbre de Hecke, qui est commutatif bien que le groupe Modèle:Formule dont elle provient soit le groupe modulaire, qui est non abélien, et le sous-groupe est un sous-groupe arithmétique et en particulier ne contient pas le sous-groupe dérivé. La commutativité du produit de convolution est étroitement liée à la théorie des paires de Gelfand.

Lorsque le groupe Modèle:Formule est un groupe topologique, il est possible d'affaiblir l'hypothèse selon laquelle le nombre de classes gauche et droite dans chaque classe double est fini. L' algèbre de groupe Modèle:Formule est remplacée par une algèbre de fonctions telle que Modèle:Formule ou Modèle:Formule, et les sommes sont remplacées par des intégrales. Le produit correspond toujours à la convolution. Par exemple, c'est ce que l'on fait pour l'algèbre de Hecke d'un groupe localement compact.

Applications

Lorsqu'un groupe $G$ a une action de groupe transitive sur un ensemble $S$, calculer certaines décompositions en doubles classes de $G$ donne des informations supplémentaires sur la structure de l'action de $G$ sur $S$. Plus précisément, si $H$ est le stabilisateur d'un élément $s\in S$, alors $G$ se décompose exactement comme deux doubles classes suivant $(H,H)$ si et seulement si $G$ agit transitivement sur l'ensemble des paires distinctes de $S$, autrement dit si l'action est Modèle:Lien.

Les doubles classes sont importantes pour la théorie des représentations, lorsqu'une représentation de Modèle:Formule est utilisée pour construire une représentation induite de Modèle:Formule, qui est ensuite Modèle:Lien à Modèle:Formule La structure de doubles classes correspondante contient des informations sur la façon dont cette représentation se décompose. Dans le cas des groupes finis, cela donne lieu au théorème de décomposition de Mackey.

Les doubles classes interviennent également en analyse fonctionnelle, où dans certains cas importants, des fonctions invariantes à gauche et invariantes à droite par un sous-groupe Modèle:Formule peuvent former un anneau commutatif pour la convolution : voir la notion de Modèle:Lien.

En géométrie, une Modèle:Lien est un double quotient Modèle:Formule, où Modèle:Formule est un groupe de Lie réductif, Modèle:Formule est un sous-groupe fermé et Modèle:Formule est un sous-groupe discret (de Modèle:Formule) qui agit Modèle:Lien sur l'espace homogène Modèle:Formule.

En théorie des nombres, l'algèbre de Hecke correspondant à un Modèle:Lien Modèle:Formule du groupe modulaire est engendrée par des éléments du double quotient $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }{\mathrm{G}\mathrm{L}}_2^{+}(\mathbb{Q})/\mathrm{\Gamma }$ ; la structure d'algèbre est celle qui provient de la multiplication des doubles classes décrite ci-dessus. Les plus importants sont sans doute les opérateurs de Hecke $T_m$ correspondant aux doubles classes ${\mathrm{\Gamma }}_0(N)g{\mathrm{\Gamma }}_0(N)$ ou ${\mathrm{\Gamma }}_1(N)g{\mathrm{\Gamma }}_1(N)$, où $g=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& m\end{array}\right)$ (ceux-ci ont des propriétés différentes selon que Modèle:Formule et Modèle:Formule sont premiers entre eux ou non), et les opérateurs diamants $⟨d⟩$ donnée par les doubles classes ${\mathrm{\Gamma }}_1(N)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right){\mathrm{\Gamma }}_1(N)$ où $d\in (\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}{)}^{\times }$ et $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{\Gamma }}_0(N)$ (le choix de Modèle:Formule n'affecte pas la réponse).

Voir aussi

Articles connexes

• Classe suivant un sous-groupe
• Opérateur de Hecke
• Algèbre de Hecke
• Algèbre de Hecke d'un groupe fini
• Algèbre de Hecke d'un groupe localement compact