Variété de Shimura

Modèle:Traduction à revoir En algèbre, les variétés de Shimura sont des analogues de dimension élevée des courbes modulaires. Elles sont formées comme la variété de quotient d'un espace hermitien symétrique par rapport à un sous-groupe de congruence d'un groupe réductif algébrique (défini sur les nombres rationnels).

Les variétés de Shimura portent le nom du mathématicien nippo-américain Gorō Shimura.

Définition formelle

Notation:

• ${𝔾}_m$ est le groupe multiplicatif (un groupe algébrique), c'est-à-dire

${𝔾}_m=\mathrm{Spec}k[S,T]/(ST-1).$

• $𝕊={\mathrm{Res}}_{ℂ/ℝ}{𝔾}_m$ est le tore de Deligne, c'est-à-dire le tore algébrique sur $ℝ$, que l'on obtient de ${𝔾}_m$ sur $ℂ$ par la restriction de Weil (Modèle:Lien).
• $G_{ℝ}^{\mathrm{ad}}$ est le groupe adjoint de $G_{ℝ}$, c'est-à-dire le groupe de quotient de$G_{ℝ}$ avec son centre.
• ${𝔸}_f$ est l'anneau adélique finie de $\mathbb{Q}$, c'est-à-dire le produit restreint

${𝔸}_f=\prod _l({\mathbb{Q}}_l,{\mathbb{Z}}_l):=\{(a_l)\in \prod {\mathbb{Q}}_l\mid a_l\in {\mathbb{Z}}_l\text{ vaut pour presque tout }l\}$

où $l$ parcourt les éléments premiers finis de $\mathbb{Q}$.

• ${\mathrm{\Gamma }}_g$ est le sous-groupe $gK{g}^{-1}\cap G(\mathbb{Q}{)}_{+}$ de $G(\mathbb{Q}{)}_{+}$.
• $X^{+}$ est composant connexes de $X$.

Donnée de Shimura

Une donnée de Shimura est une paire $(G,X)$ constitué d'un groupe réductif $G$ sur $\mathbb{Q}$ et une classe $G(ℝ)$-conjugaison $X$ des homomorphismes $h:𝕊\to G_{ℝ}$, qui doit vérifier :

1. Pour tout $h\in X$, $\mathrm{Ad}\circ h$ définit une structure de Hodge sur l'algèbre de Lie $\mathrm{Lie}(G_{ℝ})$ de type

   $\{(-1,1),(0,0),(1,-1)\}.$

2. Pour tout $h\in X$, l'operation $\mathrm{ad}(h(i))$ est une involution de Cartan de $G_{ℝ}^{\mathrm{ad}}$.
3. $G^{\mathrm{ad}}$ n'a pas de $\mathbb{Q}$-facteur sur lequel la projection de $h$ est triviale

Exemple

• Soit $G:=G{L}_2(\mathbb{Q})$ et $h:𝕊\to G{L}_2(ℝ)$ (la notation GL désignant les groupes linéaires) défini par

$h:a+b\mathrm{i}\mapsto \left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$

et $X$ est l'ensemble des $G{L}_2(ℝ)$-conjugués de $h$

$X:=\{h_g:=gh{g}^{-1}{\}}_{g\in G{L}_2(ℝ)}.$

Alors $(G,X)$ est une donnée de Shimura.

Variétés de Shimura

Soit $(G,X)$ une donnée de Shimura.

Espace de double classe

Pour un sous-groupe compact et ouvert $K\subset G({𝔸}_f)$, on définit lModèle:'espace de double classe (en anglais Modèle:Lang) par

${\mathrm{Sh}}_K(G,X):=G(\mathbb{Q})\setminus X\times G({𝔸}_f)/K,$

avec l'opération

$q(x,a)k=(qx,qak),q\in G(\mathbb{Q}),x\in X,a\in G({𝔸}_f),k\in K.$

Cette opération signifie que $G(\mathbb{Q})$ opère sur les deux composants $X$ et $G({𝔸}_f)$ à partir de la gauche. $K$ n'opère que sur la deuxième composante $G({𝔸}_f)$ à partir de la droite.

Union des variétés algébriques

${\mathrm{Sh}}_K(G,X)$ est une union disjointe finie de variétés arithmétiques localement symétriques

${\mathrm{Sh}}_K(G,X)=\underset{g}{⨆}{\mathrm{\Gamma }}_g\setminus X^{+}$

(voir par exemple pour la définition de telles variétés algébriques ${\mathrm{\Gamma }}_g\setminus X^{+}$).

Système inverse

Si on fait varier $K$ (suffisamment petit), on obtient un système inverse (aussi appelé système projectif) de variétés algébriques

$({\mathrm{Sh}}_K(G,X){)}_K.$

$G({𝔸}_f)$ opère sur ce système à travers

$K\mapsto g^{-1}Kg,g\in G({𝔸}_f)$

et

$\begin{array}{cc}𝒯(g):{\mathrm{Sh}}_K(G,X)& \to {\mathrm{Sh}}_{g^{-1}Kg}(G,X)\\ (x,a)& \mapsto (x,ag).\end{array}$

Ce système inverse muni de l'opération $G({𝔸}_f)$ est appelé variété de Shimura et est noté avec $\mathrm{Sh}(G,X)$.