Restriction de Weil

En géométrie algébrique, la restriction de Weil est un $S$-schéma, issu d'un $S^{\prime }$-schéma et d'un morphisme de schémas $S^{\prime }\to S$. On s'intéresse souvent au cas où $S^{\prime }\to S$ est une extension finie $L/K$.

La restriction porte le nom d'André Weil.

Définition

${\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}/\mathrm{S}}^{op}$ est la catégorie duale de la catégorie des $S$-schémas.

Soit $h:S^{\prime }\to S$ un morphisme de schémas. Pour un $S^{\prime }$-schéma $X$ considérons le foncteur contravariant

${\mathrm{Res}}_{S^{\prime }/S}(X):{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}/\mathrm{S}}^{op}\to \mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{t},T\mapsto {\mathrm{Hom}}_{S^{\prime }}(T{\times }_S{S}^{\prime },X).$

Si le foncteur est représentable, alors le $S$-schéma correspondant est appelé la restriction de Weil de $X$ par rapport à $h$, qui peut aussi être noté par ${\mathrm{Res}}_{S^{\prime }/S}(X)$.