Fonction q-gamma

La fonction q-gamma est une fonction mathématique qui est une généralisation q-analogue de la fonction gamma ordinaire.

Elle est définie par : $${\mathrm{\Gamma }}_q(x)=(1-q{)}^{1-x}\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1-q^{n+1}}{1-q^{n+x}}=(1-q{)}^{1-x}\frac{(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(q^x;q{)}_{\mathrm{\infty }}}$$pour $|q|<1$, et$${\mathrm{\Gamma }}_q(x)=\frac{(q^{-1};q^{-1}{)}_{\mathrm{\infty }}}{(q^{-x};q^{-1}{)}_{\mathrm{\infty }}}(q-1{)}^{1-x}{q}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{2})}$$pour $|q|>1$.

Ici $(\cdot ;\cdot {)}_{\mathrm{\infty }}$ est le q-symbole de Pochhammer infini. La fonction q-gamma est solution de l'équation fonctionnelle suivante :$${\mathrm{\Gamma }}_q(x+1)=\frac{1-q^x}{1-q}{\mathrm{\Gamma }}_q(x)=[x{]}_q{\mathrm{\Gamma }}_q(x)$$De plus, la fonction q-gamma vérifie le q-analogue du théorème de Bohr-Mollerup. Pour tout entier n positif ou nul,$${\mathrm{\Gamma }}_q(n)=[n-1{]}_q!$$où $[\cdot {]}_q$ est la fonction q-factorielle. Ainsi, la fonction q-gamma peut être considérée comme prolongeant la q-factorielle aux nombres réels, de la même manière que la fonction gamma prolonge la factorielle. La fonction gamma apparaît également comme la limite :$$\underset{q\to 1\pm }{\lim }{\mathrm{\Gamma }}_q(x)=\mathrm{\Gamma }(x)$$

Propriétés

La fonction q-gamma vérifie la q-analogue de la formule de multiplication de Gauss :$${\mathrm{\Gamma }}_q(nx){\mathrm{\Gamma }}_r(1/n){\mathrm{\Gamma }}_r(2/n)\cdots {\mathrm{\Gamma }}_r((n-1)/n)={\left(\frac{1-q^n}{1-q}\right)}^{nx-1}{\mathrm{\Gamma }}_r(x){\mathrm{\Gamma }}_r(x+1/n)\cdots {\mathrm{\Gamma }}_r(x+(n-1)/n),r=q^n.$$

Représentation intégrale

La fonction q-gamma peut s'écrire sous forme intégrale$$\frac{1}{{\mathrm{\Gamma }}_q(z)}=\frac{\sin (\pi z)}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{-z}\mathrm{d}t}{(-t(1-q);q{)}_{\mathrm{\infty }}}.$$

Formule de Stirling

On a aussi un q-analoque de la formule de Stirling $$\log {\mathrm{\Gamma }}_q(x)\sim x\to \mathrm{\infty }(x-\frac{1}{2})\log [x{]}_q+\frac{{\mathrm{L}\mathrm{i}}_2(1-q^x)}{\log q}+C_{\hat{q}}+\frac{1}{2}H(q-1)\log q+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{(2k)!}{\left(\frac{\log \hat{q}}{{\hat{q}}^x-1}\right)}^{2k-1}{\hat{q}}^x{p}_{2k-3}({\hat{q}}^x)$$$$\hat{q}=\left\{\begin{array}{cc}q\mathrm{s}\mathrm{i}& 0<q\le 1\\ 1/q\mathrm{s}\mathrm{i}& q\ge 1\end{array}\right\},$$$$C_q=\frac{1}{2}\log (2\pi )+\frac{1}{2}\log \left(\frac{q-1}{\log q}\right)-\frac{1}{24}\log q+\log \sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(r^{m(6m+1)}-r^{(3m+1)(2m+1)}),$$où $r=\exp (4{\pi }^2/\log q)$, $H$ désigne la fonction échelon d'Heaviside, $B_k$ est le nombre de Bernoulli, ${\mathrm{L}\mathrm{i}}_2(z)$ est le dilogarithme, et $p_k$ est un polynôme de degré $k$ vérifiant$$p_k(z)=z(1-z)p{\text{'}}_{k-1}(z)+(kz+1)p_{k-1}(z),p_0=p_{-1}=1,k=1,2,\cdots .$$

Formule de Raabe

On a également les q-analogues de la formule de Raabe, pour les valeurs de $|q|>1$. $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\log {\mathrm{\Gamma }}_q(x)dx=\frac{\zeta (2)}{\log q}+\log \sqrt{\frac{q-1}{\sqrt[6]{q}}}+\log (q^{-1};q^{-1}{)}_{\mathrm{\infty }}(q>1).$$ On a également pour $0<q<1$ : $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\log {\mathrm{\Gamma }}_q(x)dx=\frac{1}{2}\log (1-q)-\frac{\zeta (2)}{\log q}+\log (q;q{)}_{\mathrm{\infty }}(0<q<1).$$

Valeurs particulières

On connaît les valeurs suivantes de la fonction q-gamma:

$$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{{\mathrm{e}}^{-\pi }}\left(\frac{1}{2}\right)& =\frac{{\mathrm{e}}^{-7\pi /16}\sqrt{{\mathrm{e}}^{\pi }-1}\sqrt[4]{1+\sqrt{2}}}{2^{15/16}{\pi }^{3/4}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right),\\ {\mathrm{\Gamma }}_{{\mathrm{e}}^{-2\pi }}\left(\frac{1}{2}\right)& =\frac{{\mathrm{e}}^{-7\pi /8}\sqrt{{\mathrm{e}}^{2\pi }-1}}{2^{9/8}{\pi }^{3/4}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right),\\ {\mathrm{\Gamma }}_{{\mathrm{e}}^{-4\pi }}\left(\frac{1}{2}\right)& =\frac{{\mathrm{e}}^{-7\pi /4}\sqrt{{\mathrm{e}}^{4\pi }-1}}{2^{7/4}{\pi }^{3/4}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right),\\ {\mathrm{\Gamma }}_{{\mathrm{e}}^{-8\pi }}\left(\frac{1}{2}\right)& =\frac{{\mathrm{e}}^{-7\pi /2}\sqrt{{\mathrm{e}}^{8\pi }-1}}{2^{9/4}{\pi }^{3/4}\sqrt{1+\sqrt{2}}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right).\end{array}$$Ce sont les analogues de l'identité classique $\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$.

De même, on a les analogues suivants de l'identité $\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)=\sqrt{2}\pi$ :

$$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{{\mathrm{e}}^{-2\pi }}\left(\frac{1}{4}\right){\mathrm{\Gamma }}_{{\mathrm{e}}^{-2\pi }}\left(\frac{3}{4}\right)& =\frac{{\mathrm{e}}^{-29\pi /16}({\mathrm{e}}^{2\pi }-1)\sqrt[4]{1+\sqrt{2}}}{2^{33/16}{\pi }^{3/2}}\mathrm{\Gamma }{\left(\frac{1}{4}\right)}^2,\\ {\mathrm{\Gamma }}_{{\mathrm{e}}^{-4\pi }}\left(\frac{1}{4}\right){\mathrm{\Gamma }}_{{\mathrm{e}}^{-4\pi }}\left(\frac{3}{4}\right)& =\frac{{\mathrm{e}}^{-29\pi /8}({\mathrm{e}}^{4\pi }-1)}{2^{23/8}{\pi }^{3/2}}\mathrm{\Gamma }{\left(\frac{1}{4}\right)}^2,\\ {\mathrm{\Gamma }}_{{\mathrm{e}}^{-8\pi }}\left(\frac{1}{4}\right){\mathrm{\Gamma }}_{{\mathrm{e}}^{-8\pi }}\left(\frac{3}{4}\right)& =\frac{{\mathrm{e}}^{-29\pi /4}({\mathrm{e}}^{8\pi }-1)}{16{\pi }^{3/2}\sqrt{1+\sqrt{2}}}\mathrm{\Gamma }{\left(\frac{1}{4}\right)}^2.\end{array}$$

Version matricielle

Soit A une matrice carrée complexe définie positive. On peut définir une fonction q-gamma matricielle par q-intégrale : $${\mathrm{\Gamma }}_q(A):=\underset{0}{\overset{\frac{1}{1-q}}{\int }}{t}^{A-I}{E}_q(-qt){\mathrm{d}}_{q}t$$ où $E_q$ est la fonction q-exponentielle.