Entier surnaturel

Diagramme de Hasse du réseau des entiers surnaturels ; les nombres premiers autres que 2 et 3 ont été omis.

En mathématiques, les entiers surnaturels, parfois appelés entiers généralisés or nombres de Steinitz, sont une généralisation des entiers naturels, introduite par Ernst SteinitzModèle:Rp en 1910 dans le cadre de son travail sur la théorie des corps.

Définitions

Un entier surnaturel $\omega$ est un produit formel $\omega =\prod _p{p}^{n_p},$ où $p$ parcourt l'ensemble de tous les nombres premiers, et où chaque $n_p$ est un entier naturel (éventuellement 0) ou le symbole $\mathrm{\infty }$. On note parfois $v_p(\omega )$ au lieu de $n_p$. Si $n_p\ne \mathrm{\infty }$ pour tout $p$ et qu'il n'y a qu'un nombre fini de $n_p$ non nuls, on retrouve les entiers positifs usuels. Par définition (en accord avec les formules de calcul données ci-dessous), on pose $0=\prod _p{p}^{\mathrm{\infty }}.$

Il ne semble pas possible de définir une addition sur les nombres surnaturels, mais on peut les multiplier par la formule $\prod _p{p}^{n_p}\cdot \prod _p{p}^{m_p}=\prod _p{p}^{n_p+m_p}$ (avec $n_p+\mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }$). De même, la notion de divisibilité s'étend aux surnaturels en posant ${\omega }_1\mid {\omega }_2$ si $v_p({\omega }_1)\le v_p({\omega }_2)$ pour tout $p$. On peut définir de même le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple en posant$\mathrm{ppcm}(\{{\omega }_i\})=\prod _p{p}^{\sup (v_p({\omega }_i))}$ et $\mathrm{p}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(\{{\omega }_i\})=\prod _p{p}^{\inf (v_p({\omega }_i))}$. Avec ces définitions, le pgcd ou le ppcm d'une famille infinie de supernaturels est encore un supernaturel. Enfin, la valuation $p$-adique se prolonge aux supernaturels en posant $v_p(\omega )=n_p$ .

Applications

Les nombres supernaturels permettent de définir des ordres et des indices pour les sous-groupes des groupes profinis, et de démontrer que beaucoup de théorèmes pour les groupes finis s'appliquent encore. Ils permettent également d'encoder les extensions algébriques des corps finis. Ils interviennent aussi dans la classification des Modèle:Lien.

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage
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Articles connexes

• Entier profini

Liens externes

• Modèle:En Planet Math: Supernatural number