Théorème des cordes sécantes

$|AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|$

$\begin{array}{cc}& |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|\\ =& (r+d)\cdot (r-d)=r^2-d^2\end{array}$

Fichier:Chord theorem proof.svg

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En géométrie euclidienne, le théorème des cordes sécantes, ou simplement le théorème des cordes, est un énoncé qui décrit une relation entre les quatre segments de droite créés par deux cordes qui se croisent dans un cercle. Il stipule que les produits des longueurs des segments de ligne sur chaque corde sont égaux. Il s'agit de la proposition 35 du livre 3 des Éléments d'Euclide.

Plus précisément, pour deux cordes Modèle:Mvar et Modèle:Mvar d'un même cercle se coupant en un point Modèle:Mvar, on a l'égalité suivante : $$|AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|$$

La réciproque est également vraie : si pour deux segments de droite Modèle:Mvar et Modèle:Mvar se coupant en Modèle:Mvar l'équation ci-dessus est vérifiée, alors leurs quatre extrémités Modèle:Formule sont cocycliques. Ou en d'autres termes, si les diagonales d'un quadrilatère Modèle:Mvar se coupent en Modèle:Mvar et remplissent l'équation ci-dessus, alors c'est un quadrilatère inscriptible.

La valeur des deux produits dans le théorème de la corde ne dépend que de la distance du point d'intersection Modèle:Mvar au centre du cercle et est appelée valeur absolue de la [[Puissance d'un point par rapport à un cercle|puissance de Modèle:Mvar par rapport au cercle]] ; plus précisément, on peut énoncer que : $$|AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|=P(S)=r^2-d^2,$$ où Modèle:Mvar est le rayon du cercle et Modèle:Mvar la distance entre le centre du cercle et le point d'intersection Modèle:Mvar. Cette propriété se déduit directement de l'application du théorème des cordes à une troisième corde (ici un diamètre) passant par Modèle:Mvar et le centre du cercle Modèle:Mvar (voir dessin).

Le théorème peut être démontré en utilisant des triangles semblables (via le théorème de l'angle inscrit ). On considère les angles des triangles Modèle:Formule et Modèle:Formule : $$\begin{array}{cc}\widehat{ADS}& =\widehat{BCS}(\text{angles inscrits sur AB})\\ \widehat{DAS}& =\widehat{CBS}(\text{angles inscrits sur CD})\\ \widehat{ASD}& =\widehat{BSC}(\text{angles opposés})\end{array}$$ Cela signifie que les triangles Modèle:Formule et Modèle:Formule sont semblables et donc

$$\frac{AS}{SD}=\frac{BS}{SC}\iff |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|$$

À côté du théorème tangente-sécante et du théorème des sécantes au cercle, le théorème des cordes sécantes représente l'un des trois cas fondamentaux d'un théorème plus général concernant deux droites sécantes et un cercle : le théorème de la puissance du point.

Références

• Modèle:Article
• Modèle:Ouvrage
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Liens externes

• Modèle:En Intersecting Chords Theorem sur cut-the-knot.org
• Modèle:En Intersecting Chords Theorem sur proofwiki.org
• Modèle:MathWorld