Produit de Wallis

En mathématiques, le produit de Wallis, ou formule de Wallis, est une expression de la moitié de la [[Pi|constante Modèle:Math]] sous la forme d'un produit infini, énoncée en 1656 par John Wallis, dans son ouvrage Arithmetica infinitorum.

Expression

Ce produit peut s'écrire sous la forme :

$\frac{\pi }{2}=\frac{2}{1}\times \frac{2}{3}\times \frac{4}{3}\times \frac{4}{5}\times \frac{6}{5}\times \frac{6}{7}\times \frac{8}{7}\times \frac{8}{9}\cdots \frac{2n}{2n-1}\times \frac{2n}{2n+1}\cdots$

soit, de façon plus condensée :

$\frac{\pi }{2}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{4n^2}{4n^2-1}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{4n^2-1})$

ou encore :

$\frac{\pi }{2}=2\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2k)(2k+2)}{(2k+1)(2k+1)}=2\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2k+1{)}^2-1}{(2k+1{)}^2}=2\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{(2k+1{)}^2}).$

Une formulation équivalente est :

$\pi =\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\frac{2^2\times 4^2\times 6^2\cdots (2n{)}^2}{1^2\times 3^2\times 5^2\cdots (2n-1{)}^2}=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\prod _{k=1}^n\frac{(2k{)}^2}{(2k-1{)}^2}$.

Démonstration

On peut démontrer cette égalité à l'aide des intégrales de Wallis.

C'est aussi une conséquence directe de la formule d'Euler-Wallis pour la fonction sinus (qui est un exemple de factorisation de Weierstrass) :

$\frac{\sin (x)}{x}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{n^2{\pi }^2})$

appliquée à Modèle:Math :

$\frac{2}{\pi }=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{4n^2})=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{4n^2-1}{4n^2}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{c}\frac{\pi }{2}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{4n^2}{4n^2-1}$.

Vitesse de convergence

La vitesse de convergence, lorsque N tend vers l'infini, de la suite des produits finis

$P_N=\prod _{n=1}^N\frac{4n^2}{4n^2-1}$

est assez lente, l'écart avec Modèle:Math étant un O(1/N). Cette suite n'est donc pas utilisée numériquement pour calculer des valeurs approchées de Modèle:Math. La précision peut cependant être améliorée en multipliant PModèle:Ind par un développement limité dont les premiers termes sont :

$1+\frac{1}{4N}-\frac{3}{32N^2}+\frac{3}{128N^3}+o\left(\frac{1}{N^3}\right).$

Ainsi, pour N = 10, on obtient :

$P_N\simeq 1,533851903$

$(1+\frac{1}{4N})P_N\simeq 1,572198201$

$(1+\frac{1}{4N}-\frac{3}{32N^2})P_N\simeq 1,570760215$

$(1+\frac{1}{4N}-\frac{3}{32N^2}+\frac{3}{128N^3})P_N\simeq 1,570796164$

alors que

$\frac{\pi }{2}\simeq 1,570796327.$